universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

sin θ ≈ θ − θ3
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Desarrollando el término cúbico, tenemos
≈
Ω i
Ae 2 t + W + c.c.
Ae iΩ
2 t + Ae iΩ
2 t 3 + W
(2.15)
− 1
Ω i
Ae 2
6
t 3 + W + c.c. . (2.16)
= A 3 e 3iΩ
2 t + 3 |A| 2 Ae iΩ
2 t + c.c. (2.17)
donde hemos usado las aproximaciones descritas anteriormente 3 . Así la aproximación de la función senoidal
es
Ω i
sinθ ≈ Ae 2 t − A
3
Ω 3i
e 2
6
t − 1
2 |A|2 Ae iΩ
2 t + W + c.c. (2.18)
Ya tenemos todos los términos de la ecuación de la cadena de péndulos. Reemplazando los términos en ella, tenemos
B∂T + i Ω
2
2 Ae iΩ
2 t + ∂ttW = − Ω 2
0 + γ sin (Ωt)
Ae iΩ
2 t + W − A
6
− µ B∂TAe iΩ
2 t + i Ω
2
3
Ω 3i
e 2 t − 1
Aei Ω
2 t + ∂tW
2 |A|2 Ae iΩ
2 t
+ DG 2 ∂XXAe iΩ
2 t + c.c., (2.19)
y ahora corresponde hacer algunas aproximaciones y reescalamientos para encontrar la ecuación de amplitud.
Vamos a suponer que los parámetros que caracterizan a la cadena de péndulos como el forzamiento y la disipación
son cantidades pequeñas, es decir, tomaremos la siguiente condición para dichos parámetros γ, µ ≪ 1, luego
despreciaremos cualquier cantidad de la forma γW o µW y obviamente no despreciaremos las cantidades γA o µA
pues estaríamos haciendo desaparecer la información de la disipación y el forzamiento en la ecuación de amplitud,
es decir, las cantidades γA o µA son cantidades pequeñas pero no tan pequeñas para despreciarlas 4 . Así la última
ecuación queda
B∂T + i Ω
2
2 Ae iΩ
2 t + ∂ttW = −Ω 2
0 Ae iΩ
2 t + W − A
− γ sin (Ωt) Ae iΩ
2 t − A
6
− µ
6
3
Ω 3i
e 2 t − 1
2 |A|2 Ae iΩ
2 t
3
e 3iΩ
2 t − 1
2 |A|2 Ae
Ω i 2 t
B∂TAe iΩ
2 t + i Ω
2 AeiΩ2
t
+ DG 2 ∂XXAe iΩ
2 t + c.c. (2.20)
Factorizaremos nuestra última ecuación por e iΩ
2 t y e 3iΩ
2 t , mientras que en el lado izquierdo dejamos sólo términos
relacionados con la pertubación
LW = − B∂T + i Ω
2 A −
2
Ω 2
0 + γ sin (Ωt) A − 1
2 |A|2
A − µ B∂T + i Ω
A + DG
2
2
∂XXA
con L el operador lineal del sistema, definido como
Ω i
e 2 t
+ Ω 2 0 + γ sin (Ωt) A3 6 e3iΩ2
t + c.c., (2.21)
L = ∂tt + Ω 2 0 . (2.22)
3 Acá hemos despreciado todos los términos de la forma A · W, pues tanto A, W ≪ 1, hemos dejado los términos hasta O(A 3 ) para
enriquezer nuestra ecuación y sacar un mejor provecho de ella.
4 Como veremos más adelante estas cantidades son del mismo orden.
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