universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Figura 1.2: Estructura localizada tipo solitón en la ecuación no lineal de Schrödinger.
sistema oscila verticalmente, observamos que la oscilación homogénea se deviene inestable por medio de una inestabilidad
espacial, que da origen a un gas de solitones disipativos. Estos solitones empiezan a interactuar produciendo
aniquilación entre ellos y dando origen a una dinámica auto similar, dado que la desaparición de solitones origina
solitones cada vez más aislados. En la figura 1.3 se ilustra este fenómeno por medio del diagrama espacio temporal
de la ecuación de Schrödinger no lineal, donde el eje horizontal da cuenta del espacio y el vertical del tiempo.
Figura 1.3: Dinámica auto similar entre solitones, en la ecuación no lineal de Schrödinger.
A continuación presentamos un desarrollo detallado de ejemplos mecánicos que contienen los elementos esenciales
de los sistemas de nuestro interés, más específicamente, de los sistemas fuera del equilibrio extendidos espacialmente.
Comenzaremos estudiando un péndulo al cual se le inyecta energía (a través de un forzamiento paramétrico), luego,
en el mismo péndulo, consideraremos la disipación de energía debida a efectos de roce con el aire. Luego pasaremos a
revisar el acoplamiento espacial de masas por medio de resortes, que resulta la analogía natural de acoplar péndulos
(una cadena de ellos) por medio de un soporte que los conecta a través de la torsión.
Finalmente, obtendremos la ecuación de una cadena de péndulos forzada paramétricamente y amortiguada en la
cual, tal como ha sido mencionado, es posible observar formación de patrones, estructuras localizadas tipo solitón
disipativo e interacción entre solitones disipativos. Y por lo tanto, será fundamental para continuar nuestro estudio
de interacción.
1.2. Ejemplo mecánico de sistema con inyección y disipación de energía
1.2.1. Ecuación de Mathieu para ángulos pequeños
Consideremos un péndulo de largo l, donde en el extremo inferior colocamos una masa m y en el otro extremo
(el pivote) lo forzamos paramétricamente mediante un agente externo en forma cosenoidal Y (t) = y0 cos(Ωt), donde
y0 representa la amplitud del forzamiento y Ω es la frecuencia externa de forzamiento. Consideraremos que tanto el
ángulo que forma el péndulo con respecto a la vertical como la amplitud de forzamiento son pequeños. Por otro lado,
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