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Luego, la forma exacta de la solución de la ecuación (2.92) es R(X) = ± √ 2ε sech ± √ εX . (2.119) Pero tenemos que resaltar dos puntos. Primero, que la función secante hiperbólica es una función par, es decir, sech (X) = sech(−X). Segundo que esta solución es invariante bajo traslación espacial, es decir, podemos colocar la solución en una posición arbitraria, por ejemplo X0, reconociendo a X0 como el corazón de la solución. Entonces la solución más general de (2.92) es En función de los parámetros originales, tenemos R(X, X0) = ± √ 2εsech √ ε (X − X0) . (2.120) R(X, X0) = ± 2ε∓ sech √ ε∓ (X − X0) , (2.121) pero ε∓ = ν ∓ γ2 − µ 2 , entonces la solución de la parte radial de la ecuación ecuación (2.92) en función de los parámetros físicos del sistema es R(X, X0) = ± 2 ν ∓ γ2 − µ 2 sech ν ∓ γ2 − µ 2 (X − X0) , (2.122) donde X0 representa el corazón de la solución 7 . Es importante remarcar que podemos absorver el signo menos global de la ecuación (2.122) dentro de la parte angular del ansatz propuesto. Así nuestras dos soluciones son de la forma A+(X, X0) = √ 2εsech √ ε (X − X0) e i(θ0+0) : 0-soliton, (2.123) A−(X, X0) = √ 2εsech √ ε (X − X0) e i(θ0+π) : π − soliton, (2.124) que denominamos como 0-solitón y π-solitón respectivamente, pues una solución respecto a la otra está desfasada en π radianes. La forma de estas soluciones se muestran en las figuras 2.2. 7 Cabe señalar que la ecuación correspondiente al modelo de Landau estacionario 0 = εu − u 3 + ∂xxu es análoga a (2.92) salvo una diferencia de signo en la difusión. Las soluciones estacionarias de este modelo son u(x) = ± √ εtanhÕε 2 (x − x0), las cuales son conocidas como kink y antikink respectivamente. 24
1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −20 −10 0 10 20 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −20 −10 0 10 20 Figura 2.2: Gráficas de las soluciones 0-Solitón y π-solitón respectivamente para un ángulo de 30 grados. La curva en azul representa la parte real y la curva en roja la parte imaginaria de la solución. 25
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Page 77 and 78: la cual corresponde a la ecuación
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Manuscrito 75
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