universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

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−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
γ
Figura 2.1: Región en el espacio de parámetros γ v/s µ que satisface la ecuación (2.78). La región sombreada, es
la región que satisface la ecuación (2.78) y que además satisface el sentido físico del parámetro µ, que debe ser
positivo.
Por otro lado, usamos trigonometría para reescribir la ecuación (2.79), en función de los parámetros del sistema
sin 2 2θ0 + cos 2 2θ0 = 1 (2.82)
γ=µ
µ
γ=−µ
sin 2 2θ0 = 1 − cos 2 2θ0 (2.83)
2 sin 2 2θ0 = 1 −
µ
γ
sin 2 2θ0 = γ2 − µ 2
γ 2
sin 2 2θ0 = γ2 − µ 2
(2.84)
(2.85)
γ2 / √
(2.86)
sin 2θ0 = ± 1
γ2 − µ 2 , (2.87)
γ
luego, reemplazando en (2.79), tenemos
0 = νR − R 3 − ∂XXR − γR · ± 1
γ2 − µ 2
γ
(2.88)
0 = νR − R 3 − ∂XXR ∓ γ2 − µ 2R (2.89)
0 = ν ∓ γ2 − µ 2
R − R 3 − ∂XXR (2.90)
0 = ε∓R − R 3 − ∂XXR, (2.91)
donde hemos definido el parámetro ε∓ = ν ∓ γ 2 − µ 2 . Para simplificar la notación escribimos ε = ε∓. Luego la
ecuación (2.79) toma la forma estándar
0 = εR − R 3 − ∂xxR. (2.92)
La ecuación (2.92) tiene soluciones conocidas, tipo secante hiperbólica. Para chequear (y caracterizar) probemos el
siguiente ansatz: R(X) = Asech(BX), donde A y B son constantes a determinar. En efecto,
∂XR =
=
−1
A∂X cosh (BX)
−2
−AB∂X cosh (BX) · senh (BX)
(2.93)
(2.94)
= −AB tanh (BX) · sech(BX) (2.95)
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