universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Luego, la forma exacta de la solución de la ecuación (2.92) es
R(X) = ± √ 2ε sech ± √ εX . (2.119)
Pero tenemos que resaltar dos puntos. Primero, que la función secante hiperbólica es una función par, es decir,
sech (X) = sech(−X). Segundo que esta solución es invariante bajo traslación espacial, es decir, podemos colocar
la solución en una posición arbitraria, por ejemplo X0, reconociendo a X0 como el corazón de la solución. Entonces
la solución más general de (2.92) es
En función de los parámetros originales, tenemos
R(X, X0) = ± √ 2εsech √ ε (X − X0) . (2.120)
R(X, X0) = ± 2ε∓ sech √ ε∓ (X − X0) , (2.121)
pero ε∓ = ν ∓ γ2 − µ 2 , entonces la solución de la parte radial de la ecuación ecuación (2.92) en función de los
parámetros físicos del sistema es
R(X, X0) = ± 2 ν ∓ γ2 − µ 2
sech ν ∓ γ2 − µ 2
(X − X0) , (2.122)
donde X0 representa el corazón de la solución 7 .
Es importante remarcar que podemos absorver el signo menos global de la ecuación (2.122) dentro de la parte
angular del ansatz propuesto. Así nuestras dos soluciones son de la forma
A+(X, X0) = √ 2εsech √ ε (X − X0) e i(θ0+0) : 0-soliton, (2.123)
A−(X, X0) = √ 2εsech √ ε (X − X0) e i(θ0+π) : π − soliton, (2.124)
que denominamos como 0-solitón y π-solitón respectivamente, pues una solución respecto a la otra está desfasada
en π radianes. La forma de estas soluciones se muestran en las figuras 2.2.
7 Cabe señalar que la ecuación correspondiente al modelo de Landau estacionario 0 = εu − u 3 + ∂xxu es análoga a (2.92) salvo
una diferencia de signo en la difusión. Las soluciones estacionarias de este modelo son u(x) = ± √ εtanhÕε
2 (x − x0), las cuales son
conocidas como kink y antikink respectivamente.
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