universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Capítulo 2
Ecuación No Lineal de Schrödinger y sus
soluciones estacionarias
Tal como hemos mencionado, la cadena de péndulos con forzamiento y amortiguamiento, resulta ser un modelo
paradigmático de los sistemas fuera del equilibrio extendidos espacialmente, que además exhibe formación de
patrones y estructuras localizadas. En este capítulo usaremos una técnica ampliamente desarrollada para estudiar
estos sistemas desde una perspectiva unificada. De este modo obtendremos la ecuación de amplitud universal
que ya antes hemos mencionado: la ecuación No Lineal de Schrödinger forzada paramétricamente y amortiguada.
Luego procederemos a estudiar soluciones estacionarias y de fase constante que exhibe la ecuación, puesto que
son soluciones observadas numéricamente, y que resultarán de suma importancia para, posteriormente, estudiar la
interacción entre estructuras localizadas, y para así comprender las observaciones experimentales.
2.1. Ecuación de amplitud
La ecuación de amplitud de un sistema, da cuenta de los modos lentos que gobiernan las dinámicas ulteriores,
tanto de las variables espaciales como temporales, es decir, nos da información de su envolvente. La ecuación de
amplitud representa una aproximación de la ecuación en estudio. Pero suponemos que es una aproximación que
conserva lo esencial, pues son las variaciones lentas las que goviernan la dinámica de los sistemas y, consecuentemente,
son las que describen los fenómenos observados en la naturaleza o a nivel experimental.
Simplificaciones así son usuales en física. Por ejemplo, al describir un péndulo usando sólo la coordenada angular,
se está pasando por alto el hecho de que un péndulo no puede ser una masa puntual (simplificación usual), sino que
es un objeto con forma y masa bien definida, dentro del cual hay interacción entre moléculas. Además el soporte
por el cual se conecta al pivote, podrá ser una barra gruesa o un hilo delgado, pero de todas formas tendrá el mismo
tipo de dinámica microscópica que escapa a la vista. Así, en general, al hacer una descripción macroscópica de un
fenómeno, se hacen (aunque de forma implícita) este mismo tipo de aproximaciones, de forma tal que, en vez de
usar las muchas ecuaciones (10 23 ) asociadas a los contituyentes elementales de la materia, guardar sólo aquellas que
describen la dinámica lenta.
En esta sección obtendremos la ecuación de amplitud para la cadena de péndulo con disipación de energía y
forzada paramétricamente a una frecuencia cercana al doble de su frecuencia natural. Para ello comenzaremos con
la ecuación (1.103) de la cadena de péndulo, donde la extensión espacial en principio es infinita.
∂ttθ(x, t) = −Ω 2 0 sin θ(x, t) − γ sin(Ωt)sin θ(x, t) − µ∂tθ(x, t) + D∂xxθ(x, t), (2.1)
el ángulo de inclinación θ respecto a su vertical es una función tanto espacial como temporal, es decir, es una
variable tipo campo. Además, Ω0 es la frecuencia natural de oscilación de los péndulos 1 , γ es la amplitud del forzamiento
paramétrico, µ es la constante disipativa del sistema con el medio y D puede tomarse como la constante de
acoplamiento o bien la constante de difusión del sistema.
1 De un péndulo.
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