universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

2
R−
x=−∆/2
0
x=+∆/2
R +
Figura 3.7: Producto de las funciones R− y R+.
cuasi nulo en todo el espacio si la distancia entre los solitones es muy grande, es decir, R 2 − R+ ≈ 0 y lo mismo ocurre
para el otro término R−R 2 + ≈ 0. Luego la ecuación (3.136) sería cuasi nula sí los solitones están muy alejados. Es
decir,
εR − R 3 − ∂XXR ≈ 0 (3.142)
La ecuación para parte radial para solitones estacionarios (3.136) es satiafecha cuando los solitones están muy
alejados, es decir, ellos no se “ven” pues despreciamos los términos de acoplamiento.
Ahora buscaremos el operador para la ecuación (3.142) que está bajo el supuesto que los solitones están muy
alejados, ocupando dicha ecuación
εR − R 3 − ∂XXR ≈ 0 /∂X (3.143)
ε∂XR − 3R 2 ∂XR − ∂XXXR ≈ 0 (3.144)
ε − 3R 2 − ∂XXR ∂XR ≈ 0 (3.145)
donde podemos reconocer el término entre paréntesis como el operador del sistema para un par de solitones cuando
ellos están muy alejados
L|∂XR >≈ 0 (3.146)
Para aplicar la alternativa de Fredholm, debemos mostrar que este operador para una combinación lineal de solitones
cuando estos están muiy alejados es autoadjunto. Pero esto ya lo mostramos en la la ecuación (3.128), es decir,
L = L † . Luego |∂XR > es un pesudovector del Ker L † .
3.1.4. Otro análisis del operador del sistema
Ahora estudiaremos de una manera alternativa el operador del sistema dado por la ecuación (3.96)
L = ε − 3R 2 − ∂XX (3.147)
= ε − 3 (R− + R+) 2 − ∂XX (3.148)
= ε − 3 R 2 − + 2R−R+ + R 2
+ − ∂XX
(3.149)
= ε − 3R 2
− − ∂XX − 6R−R+ − 3R 2 +
(3.150)
recordando el términos entre paréntesis como el operador del solitón ubicado en la posición X = −∆ 2 como se
definió en la ecuación (3.103), tenemos
L = L− − 6R−R+ − 3R 2 +
(3.151)
Para este análisis vamos a suponer que la distancia entre los solitones es muy grande ∆ ≫ 1. Recordando que la
parte radial de los solitones es de la forma
R(X − X0) = √ 2εsech √ ε(X − X0) , (3.152)
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