universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Z
X
∆ T
Figura 3.8: Producto de las funciones R− y R+.
R−
X
∆ T
Figura 3.9: Producto de las funciones R− y R+.
Ahora recordamos la forma de un solitón ubicado en la posición X = −∆ 2 , calculamos la derivada
∂XR− = √ ε d
cosh
dX
−1 √
ε X + ∆
(3.189)
2
= − √ ε cosh −2 √
ε X + ∆
sinh
2
√
ε X + ∆
√ε
(3.190)
2
= − √ 2ε sech √
ε X + ∆
tanh
2
√
ε X + ∆
(3.191)
2
luego la integral toma la forma
< ∂XR−|∂XR− > = 2ε 2
∞
−∞
sech 2√
ε X + ∆
realizando el siguiente cambio de variable, u = √ ε X + ∆
2
2
tanh 2 √
ε X + ∆
u −→ ±∞. Así la integral se puede escribir de manera más compacta como
2ε 2
∞
sech 2√
ε X + ∆
tanh
2
2 √
ε X + ∆
dX = 2ε
2
2
∞
−∞
y ocupando las siguientes identidades
tenemos
< ∂XR−|∂XR− > = 2ε 3/2
∞
2
dX (3.192)
, entonces dX = du
√ε y cuando X −→ ±∞,
−∞
sech 2 u tanh u du
√ε
(3.193)
1 − tanh 2 X = sech 2 X (3.194)
= 2ε 3/2
∞
46
sech
−∞
2 u{1 − sech 2 u}du (3.195)
sech
−∞
2 ∞
u − sech
−∞
4
u du (3.196)