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1.2.3. Ecuación de Mathieu para cualquier ángulo con disipación de energía
Ahora deduciremos la ecuación de Mathieu sin restricción de ángulos pequeños y con disipación de energía. Para
ello, utilizaremos el lagrangiano del sistema encontrado en la sección anterior (sin disipación de energía), es decir,
la ecuación (1.35):
L = m
2 {l2 ˙ θ 2 + 2 ˙ Y l sin θ ˙ θ} − mg{Y + l (1 − cosθ)} (1.43)
Agregamos al lagrangiano un término que da cuenta de la disipación de energía, siguiendo la forma típica para
disipación lineal
m
L =
2 {l2
θ˙ 2
+ 2Y˙ l sin θθ} ˙ − mg{Y + l (1 − cosθ)} e µt , (1.44)
donde µ representa el coeficiente de disipación de energía.
Procedamos a calcular los términos a usar en la ecuación de Euler-Lagrange:
y así se obtiene
ó
d
dr
∂L
∂ ˙ θ
∂L
∂θ = {ml ˙ Y cosθ ˙ θ − mgl sin θ}e µt , (1.45)
∂L
∂ ˙ θ = {ml2 ˙ θ + ml ˙ Y sin θ}e µt , (1.46)
= {ml 2¨ θ + ml ¨ Y sinθ + ml ˙ Y cosθ ˙ θ}e µt + µ{ml 2 ˙ θ + ml ˙ Y sin θ}e µt , (1.47)
{ml 2¨ θ + ml ¨ Y sin θ + ml ˙ Y cosθ ˙ θ + µml 2 ˙ θµml ˙ Y sin θ − ml ˙ Y cosθ ˙ θ + mgl sin θ}e µt = 0 (1.48)
ml 2¨ θ + ml ¨ Y sin θ + µml 2 ˙ θ + µml ˙ Y sin θ + mgl sin θ = 0. (1.49)
Como lo hemos hecho antes, hemos supuesto que el forzamiento tiene una amplitud peque`na (Y ∼ y0) con y0 ≪ 1.
También vamos a suponer que el parámetro de disipación es pequeño, es decir, µ ≪ 1, por lo tanto, los términos
del orden O(µy0) son completamente despreciables, es decir, el término Rµml ˙ Y sin θ ≈ 0, luego la ecuación (1.49)
se puede reescribir
Esta es la ecuación puede ser reescrita como
ml 2¨ θ + ml ¨ Y sinθ + µml 2 ˙ θ + mgl sin θ = 0. (1.50)
¨θ + µ ˙ θ +
¨Y + g
l
sin θ = 0 (1.51)
Introduciendo la siguiente variable adimiensional τ = ω
2 t , adoptando un forzamiento del tipo coseinoidal Y (t) =
y0 cos(Ωt) y haciendo uso de las siguientes definiciones ¨ θ ≡ d2θ dτ2 y ˙ θ ≡ dθ
dτ , obtenemos
2
Ω
¨θ
Ω
+ µ ˙θ +
2 2
−y0Ω2 cos(Ωt) + g
sin θ = 0 (1.52)
l
¨θ +
2µ
˙θ +
Ω
2Ω0
Ω
2
−
4y0
cos(2τ) sin θ = 0, (1.53)
l
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