universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

luego el término de la ecuación (3.62) ocupando los términos de las ecuaciones (3.66) y (3.77) nos queda expresado
de la suguiente forma
∂T ∂Z (R− − R+) · (R− + R+) −1
= ˙ ∆
2 · ∂2 Z (R− + R+)
(R− + R+) + ∂Z
(R− − R+) − ˙ ∆
2 · ∂Z (R− − R+)
(R− + R+) 2
(3.78)
∂T
∂T
∂Z (R− − R+) · (R− + R+) −1
∂Z (R− − R+) · (R− + R+) −1
= ˙
∆ ∂
2
2 Z (R− + R+)
(R− + R+) − (∂Z (R− − R+)) 2
(R− + R+) 2
= ˙
∆ ∂
2
2 Z (R− + R+)
(R− + R+) −
2
∂Z (R− − R+)
R− + R+
luego reemplazamos el término de la ecuación (3.80) en la ecuación (3.61)
1
∂Tϕ = ∓
4 γ2 − µ 2
¨∆ · ∂Z (R− − R+)
(R− + R+) + ˙
˙∆ ∂
∆ ·
2
2 Z (R− + R+)
(R− + R+) −
2
∂Z (R− − R+)
R− + R+
1
= ∓
4 γ2 − µ 2
¨∆ · ∂Z (R− − R+)
(R− + R+) + ˙ ∆2
∂
2
2 Z (R− + R+)
(R− + R+) −
2
∂Z (R− − R+)
R− + R+
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
ahora para simplificar los calculos, tenemos dos opciones para realizar aproximaciones. Primero es suponer que las
derivadas espaciales con respecto a la variable Z definida anteriormente para las funciones R+ y R− son peque`nas
de la siguiente forma
(∂Z (R− − R+)) 2 ≪ ∂ 2 Z (R− + R+) ≪ ∂Z (R− − R+), (3.83)
es decir, sólo conservamos las derivadas espaciales de las funciones R+ y R− hasta primer orden O(∂Z) y sólo hasta
la primera derivada espacial, despreciamos términos de la forma ∂2 Z . Es decir, estamos asumiendo que las funciones
R+ y R− varían de manera muy lenta en el espacio.
La otra forma de entender esta simplificación, es suponer que la variable de interacción varía de manera muy lenta
en el tiempo, es decir, ∆˙ 2 ≪ ∆, ˙ por lo tanto la ecuación (3.82) se puede aproximar de la siguiente forma
1
∂Tϕ ≈ ∓
4 γ2 − µ 2
¨∆ · ∂Z (R− − R+)
(R− + R+)
ahora reemplazamos la ecuación (7.58) y (3.84) en la ecuación (A.23)
(R− + R+)
1
∓
4 γ2 − µ 2
¨∆ · ∂Z
(R− − R+)
(R− + R+)
= Lρ − 3R 2 −R+ − 3R−R 2 +−
˙∆
2µ (R− + R+) ∓
4 γ2 − µ 2
reordenando y simplificando, tenemos
1
∓
4 γ2 − µ 2
¨∆ · ∂Z (R− − R+) = Lρ − 3R 2 − R+ − 3R−R 2 +
∂Z (R− − R+)
(R− + R+)
˙∆
− 2µ ∓
4 γ2 − µ 2 ∂Z
(R− − R+)
(3.84)
(3.85)
(3.86)
1
Lρ = ∓
4 γ2 − µ 2 ∂Z (R− − R+) ¨ ∆ + 3R 2 −R+ + 3R−R 2 2µ
+ ∓
4 γ2 − µ 2 ∂Z (R− − R+) ˙ ∆ (3.87)
1
Lρ = ∓
4 γ2 − µ 2 ∂Z (R− − R+) ¨ µ
∆ ∓
2 γ2 − µ 2 ∂Z (R− − R+) ˙ ∆ + 3R 2 −R+ + 3R−R 2 +
35
(3.88)