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Para encontrar las ecuaciones de movimiento del sistema, aplicamos la ecuación de Euler-Lagrange, que para una variable canónica qk, está dada por d ∂L − dt ∂ ˙qk ∂L = 0, (1.12) ∂qk nuestro caso, tenemos sólo una variable canónica, la cual es la variable angular del sistema. Calculando término por término, tenemos luego, reemplazando en la ecuación de Euler-Lagrange, tenemos d dt ∂L ∂θ = ml ˙ Y ˙ θ − mglθ, (1.13) ∂L ∂ ˙ θ = ml2 ˙ θ + ml ˙ Y θ, (1.14) ∂L ∂ ˙ = ml θ 2¨ θ + mlY¨ θ + mlY˙ θ, ˙ (1.15) 0 = ml 2¨ θ + ml ¨ Y θ + ml ˙ Y ˙ θ − ml ˙ Y ˙ θ + mglθ (1.16) 0 = ml 2¨ θ + ml ¨ Y θ + mglθ (1.17) 0 = l 2¨ θ + l ¨ Y θ − glθ / · 1/l 2 . (1.18) Finalmente reescribiendo la ecuación en su forma stándar, tenemos ¨Y + g ¨θ + θ = 0, (1.19) l Ahora definimos unidades de tiempo adimensionales, τ = Ω 2 t, luego, reemplazando en esta última ecuación, tenemos Ω2 4 ¨ g − y0Ω θ + 2 cos(2τ) θ = 0, (1.20) l donde hemos definido ¨ θ = d2θ dτ2. Normalizando el primer término de la última ecuación, tenemos ¨θ 4g 4y0 + − lΩ2 l cos(2τ) θ = 0. (1.21) Para escribir la ecuación de Mathieu, en su forma stándar, definimos las siguientes cantidades a ≡ (2Ω0/Ω) 2 y q ≡ 2y0/l, entonces la ecuación queda ¨θ + (a − 2q cos(2τ)) θ = 0 (1.22) por definición de la variable a, tenemos que esta es siempre mayor que cero y que tiene el valor a = 1 (a es escogida en unidades de frecuencia natural)⇔ Ω = 2Ω0, es decir, tiene el valor a = 1, cuando la frecuencia de forzamiento es 2 veces la frecuencia natural del sistema. Esta frecuencia se conoce como frecuencia de resonancia paramétrica. La ecuación de Mathieu es una forma especial de la ecuación de Hill. Analicemos qué ocurre cuando la frecuencia de forzamiento es cercana a la frecuencia de resonancia paramétrica, es decir, Ω± = 2Ω0 ± ν, donde ν juega el rol de un parámetro de Tuning (un afinador a la frecuencia de resonancia paramétrica), donde consideramos que este parámetro es pequeño. Por otro lado, el valor del parámetro a toma la 4
forma pero dado que ν es pequeño, tenemos Ω− Ω+ 2Ω0−ν 2Ω0 2Ω0+ν Figura 1.5: Efecto de Tuning. 2Ω0 a± = Ω± a± ≈ 2 = 4Ω2 0 2 , (1.23) (2Ω0 ± ν) 1 1 ± ν . (1.24) Ω0 Al analizar la última ecuación, notamos una discontinuidad en el parámetro a− cerca de la frecuencia ν = Ω0 pues al acercarnos por la derecha a la frecuencia natural obtenemos que el denominador tiende a cero por la derecha, por lo tanto, esta expresión tiende a menos infinito, mientras que al acercanos por la izquierda obtenemos que a− tiende a más infinito, es decir, hay una discontinuidad (ver figura 1.6). Pero hay que recalcar que sólo debemos concentrarnos en valores pequeños del parámetro de tuning. Por otro lado, tenemos que el valor del parámetro a+ es 1/2 cuando ν = Ω0 por ambos lados. 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 a+ a+ −2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ω0 Figura 1.6: Discontinuidad en el efecto Tuning. 1.2.2. Ecuación de Mathieu para cualquier ángulo Ahora deduciremos la ecuación de Mathieu para cualquier ángulo. Por lo lo tanto, en esta sección no haremos aproximaciones del tipo θ ≪ 1 para la deducción de dicha ecuación, pero consideraremos que la amplitud de formamiento es pequeña, tal como en la sección anterior. Tenemos que las coordenadas del péndulo (ver figura (1.4)) están dada por: luego, las derivadas con respecto al tiempo de estas coordenadas son ν x = l sin θ, (1.25) y = l (1 − cosθ), (1.26) ˙x = l cosθ ˙ θ, (1.27) ˙y = ˙ Y + l sinθ ˙ θ. (1.28) 5
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Capítulo 7 Formación de estructur
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Análisis de la función f∓(∆)
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luego, reemplazando en la ecuación
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15 10 ∆+ (0,∆0) 5 (t0,ln(b)) 0
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Bibliografía [1] M. C. Cross & P.
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la cual corresponde a la ecuación
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Manuscrito 75
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