universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Antes de continuar expresaremos la función senoidal de la siguiente forma
Desarrollando algunos términos de nuestra penúltima ecuación, tenemos
sin (Ωt) A − 1
2 |A|2
A e iΩ
2 t + c.c. =
sin(Ωt) = 1 iΩt −iΩt
e − e
2i
. (2.23)
1 − 1
e iΩt − e −iΩt
Ω i
Ae 2 t + Ae −iΩ 2 t
2 |A|2
(2.24)
2i
= 1
1 −
2i
1
2 |A|2
Ω 3i
Ae 2 t + Ae iΩ
2 t
+ c.c.
(2.25)
= −i
1 −
2
1
2 |A|2
Ae 3iΩ 2 t + Ae iΩ
2 t
+ c.c. (2.26)
= − 1
1 −
2
1
2 |A|2
iAe 3iΩ 2 t + iAe iΩ
2 t
+ c.c. (2.27)
= − 1
2
y ahora hacemos lo mismo para el siguiente término
sin (Ωt)A 3 e 3iΩ
2 t + c.c =
= 1
2i
= 1
2i
1 − 1
2 |A|2
e iΩt − e −iΩt
2i
e iΩt − e −iΩt
iAe 3iΩ
2 t − 1
2
1 − 1
2 |A|2
A 3 e 3iΩ
2 t + A 3 e 3iΩ
2 t
A 3 e 3iΩ
2 t + A 3 e 3iΩ
2 t
A 3 e 5iΩ
2 t + A 3 e −iΩ
2 t + c.c.
Ω i
iAe 2 t + c.c., (2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
= 1
2i A3 e 5iΩ
2 t + 1
2i A3 e −iΩ
2 t + c.c. (2.32)
= − i
2 A3 e 5iΩ
2 t − i
2 A3 e −iΩ
2 t + c.c., (2.33)
luego reemplazando estos términos en la ecuación (2.21), tenemos
LW = − B∂T + i Ω
2 A − Ω
2
2
0 A − 1
2 |A|2
A − µ B∂T + i Ω
A + DG
2
2
∂XXA e iΩ
2 t
−γ − 1
1 −
2
1
2 |A|2
iAe 3iΩ 2 t − 1
1 −
2
1
2 |A|2
iAe iΩ
2 t
+ Ω 2 A
0
3
6 e3iΩ2
t + γ
−
6
i
2 A3e 5iΩ 2 t − i
2 A3e −iΩ 2 t
+ c.c.
y reagrupando los términos,
LW = − B∂T + i Ω
2 A − Ω
2
2
0 A − 1
2 |A|2
A − µ B∂T + i Ω
A + DG
2
2 ∂XXA + i γ
A −
2
1
2 |A|2
A
e iΩ
2 t
+ Ω 2 A
0
3
+ iγ A −
6 2
1
2 |A|2
A e 3iΩ 2 t + γ
−
6
i
2 A3e 5iΩ 2 t − i
2 A3e −iΩ 2 t
+ c.c.
Luego, en principio, tenemos una ecuación de la siguiente forma
LW = b (2.34)
esta ecuación tendrá solución para W sí y sólo sí b pertenece a la imagen de L. Encontrar dicha solución puede ser
en principio difícil. Un método alternativo es encontrar una condición la cual nos asegure que por lo menos existe
una solución de dicha ecuación, dicha alternativa es llamada de Fredholm.
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