universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

la ecuación (3.88) contiene información sobre la dinámica de interacción entre dos 0-solitones. Una forma de resolver
esta ecuación es encontrar el valor de ls función de perturbación de la variable radial pues ya obtuvimos el valor
de la perturbación en la parte angular y así el sistema descrito por las ecuaciones (A.22) y (A.23) en principio
esta solucionado, pero una manera alternativa es no resolver el sistema como tal, si no más bien encontrar una
condición de solubilidad, es decir, econtrar una condición para garantizar que por lo menos existe una solución
para dicho sistema. Dicho método se llama Alternativa de Fredholm y que explicaremos en la siguiente sección.
3.1.2. Alternativa de Fredholm
La Alternativa de Fredholm es una forma de garantizar que exista por lo menos una solución para sistema dado.
La ecuación (3.88) se puede resumir de la siguiente forma
L|ρ >= |R > (3.89)
la cual tendrá solución para |ρ > sí, y sólo sí |R > pertenece a la imagen del operador L. En forma pictórica,
tenemos lo siguiente
Dom L Im
|ρ>
|R>
Figura 3.2: Definción pictórica para encontrar solución a la ecuación (89).
Encontrar dicha solución puede resultar difícil. Una forma alternativa es no encontrar dicha solución, si no más bien
establecer una Condición de Solubilidad, es decir, establecer una condición para poder decir que existe por lo
menos una solución para dicho sistema, ecuación(3.89). Esta alternativa sólo nos garantiza que dicha solución existe
pero no nos dá información sobre dicha solución, esta alternativa se llama Alternativa de Fredholm
Sea L un operador que actúa sobre un espacio E. Entonces la pregunta es: dado un elemento |A > (vector)
perteneciente a la imagen del operador L. Entonces debemos encontrar un vector |W > perteneciente al dominio
de L, tal que L|W >= |A > para dicho sistema tenga solución. Si encontramos dicho vector (|W >) que satisface
la ecuación (3.89), entonces dicho sistema queda completamente resuelto.
La alternativa de Fredholm nos dice que dicho sistema tendrá solución (condición de solubilidad) sí y sólo sí para
todo vector |v > perteneciente al Ker(L † ), se cumple < A|v > ∗ = 0.
En efecto, consideremos la ecuación (3.89)
y apliquemos un elemento del kernel de L † por la izquierda
L|W >= |A > (3.90)
< v|L|W >= < v|A > (3.91)
al igual que en mecánica cuántica podemos pasar a la ecuación de correspondencia dual
< v| (L|W >) = < v|A > (3.92)
< W |L † |v > ∗ = < A|v > ∗
(3.93)
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