universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

donde Ll representa el lagrangiano de la partícula l reescrito de manera de hacer más conveniente el tomar el límite
continuo.
Por otro lado, el límite continuo corresponde a una barra sólida elástica. Es claro que la cantidad
m
a tiende a
una densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud) ρ. Además, recordamos que la extensión de una barra
por unidad de longitud es directamente proporcional a la fuerza o tensión que es sometida la barra, la cual se escribe
como F = Y ξ, donde ξ es la elongación de la barra y la constante de proporcionalidad Y es conocida como módulo
de Young. La extensión por unidad del longitud en el caso discreto se puede escribir como ξ = ql+1−ql
a . La fuerza
necesaria para el estiramiento de un resorte es
ql+1 − ql
F = k (ql+1 − ql)a = ka , (1.70)
a
que en el límite continuo resulta
lím
a−→0 ka
ql+1 − ql
= kaξ = Y ξ. (1.71)
a
Por lo tanto, recononcemos a ka cuando a −→ 0 como el módulo de Young.
En el continuo cada punto de la barra queda determinado por la posición x y ahora la variable q queda determinada
por la posición y el tiempo, es decir, se transforma en una variable tipo campo q −→ q(x, t). Así podemos
establecer las siguientes relaciones entre el discreto y el continuo.
caso discreto caso continuo
m
a
−→ ρ
ka −→ Y
ql −→ q(x)
˙ql
l
−→
−→
Con esto, reescribimos el lagrangiano (1.68) como
L = 1
2
2
∂q ∂q
dx ρ − Y , (1.72)
2 ∂t ∂x
donde definimos la densidad lagrangiana como
∂q
∂t
dx
L = ρ q2 t
2 − Y q2 x
, (1.73)
2
con qt ≡ ∂q/∂t y qx ≡ ∂q/∂x. La ecuación (1.73) corresponde a la densidad lagrangiana de una barra elástica.
Luego el lagrangiano de un sistema continuo se puede escribir en términos de su densidad lagrangiana
L = dxL, (1.74)
donde L corresponde al aLl de la ecuación (1.68), pero en el caso continuo.
Ahora, para deducir la ecuación de onda a través de la densidad lagrangiana L, nos concentraremos en el campo
u(x, t) y supondremos que la dependencia de L es de la forma:
L = L(ut, ux), (1.75)
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