universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

donde Ω0 es la frecuencia natural del péndulo. Para simplificar la notación, definimos los siguientes parámetros al
igual que en la sección anterior
2 2Ω0
a ≡ , (1.54)
Ω
4y0
q ≡ , (1.55)
b ≡
l
2µ
Ω
Así la ecuación (1.53) en función de los nuevos parámetros resulta
. (1.56)
¨θ + b ˙ θ + (a − q cos(2τ)) sinθ = 0. (1.57)
Esta es la ecuación de Mathieu con disipación de energía, donde el término a contiene información de la frecuencia
externa del sistema, q contiene información sobre la amplitud de forzamiento y b contiene información sobre la
disipación de energía del sistema.
1.3. Ejemplo mecánico de sistema extendido espacialmente
1.3.1. Ecuaciones de movimiento para un sistema discreto con acoplamiento espacial
Consideremos una cadena lineal de N átomos de igual masa acoplados por N − 1 resortes de constante elástica
k y separados unos de otros por una distancia a (donde a es mayor que la longitud mínima del resorte) cuando se
encuentran en su estado de equilibrio. Cada átomo se diferencia del otro por medio un un subíndice l. Denotaremos
con ql el desplazamiento del átomo con respecto a su posición de equilibrio. Enfatizamos que el subíndice l sólo
nos da el lugar de lozalización del átomo l. Vamos a suponer que la cadena es cerrada en si misma, es decir, que
la coordenada ql satisface la condición de periocidad: ql = ql+N. Para encontrar la ecuaciones de movimiento de
cada partícula, exiten dos métodos: encontrar el lagrangiano del sistema ó aplicar la segunda ley de Newton. El
lagrangiano del sistema es: L = T −V , donde T representa la energía cinética del sistema y V representa su energía
potencial. La energía cinética del sistema está dada por
T = 1
2
N
l=1
m ˙q 2 l , (1.58)
y la energía potencial es la suma de todas las energías potenciales de cada resorte por estar comprimido o
elongado con respecto a su posición de equilibrio, según la ley de Hooke 1 ,
V = 1
2
luego el lagrangiano del sistema está dado por
L = 1
2
N
l=1
N
l=1
m ˙q 2 l − 1
2
k (ql+1 − ql) 2 , (1.59)
N
l=1
k (ql+1 − ql) 2 . (1.60)
La ecuación de movimiento, para una partícula s, es obtenida a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange
d ∂L
−
dt ∂ ˙qs
∂L
= 0. (1.61)
∂qs
Desarrollando término a término, tenemos
1 La fuerza que ejerce el resorte sobre una partícula obedecen la Ley de Hooke. Esta ley establece que la fuerza que experimenta
la partícula es proporcional a la distancia respecto a su posición de equilibrio, donde la constante de proporcionalidad es denominada
como constante elástica del resorte, k.
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