universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

integrando nuevamente, entre [−∞, x ′′ ]
ϕ = ˙ ′′
x
∆
2 −∞
dx ′
(R− + R+) 2
x ′
∂z (R− − R+)(R− + R+)dx + 2
−∞
γ2 − µ 2
x ′′
−∞
dx ′
(R− + R+) 2
x ′
(R− + R+)
−∞
2 (3.210) ϕdx
acá podemos observar que tenemos una ecuación de recurencia para ϕ, la cual se puede resolver usando el método
de la jererqía. Donde proponemos la solución de la ecuación como una serie de potencia
ϕ(x, t) = α 0 ϕ0 + α 1 ϕ1 + · · · =
∞
n=0
α n ϕn
(3.211)
donde dicha solución converge sí y sólo sí, ´si los coeficientes de la serie de potencia son mucho menores que la
unidad, donde definimos el siguiente parámetro de control
α ≡ 2 γ 2 − µ 2 ≪ 1 (3.212)
es decir, estamos en la región del espacio de parámetro cerca de la punta de la lengua de Arnold (γ = µ). Reemplazando
en la ecuación tenemos
α 0 ϕ0 + α 1 ϕ1 + · · · = ˙ ′′
x
∆
2 −∞
dx ′
(R− + R+) 2
x ′
∂z (R− − R+)(R− + R+)dx
−∞
+ 2 γ2 − µ 2
′′
x
dx ′
(R− + R+) 2
−∞
x ′
(R− + R+)
−∞
2 ϕdx, (3.213)
para resolver esta ecuación debemos resolver orden por orden del parámetro de control. Nosotros para simplificar
nuestro trabajo, resolveremos nuestra ecuación a O(α 0 ), entonces tenemos la siguiente solución para la pertubación
de la fase
ϕ0 = ˙ ′′
x
∆
2 −∞
dx ′
(R− + R+) 2
x ′
∂z (R− − R+)(R− + R+)dx (3.214)
−∞
ahora con esta solución a orden cero para la función de perturbación, debemos reemplazarla en la ecuación (7.14)
Lρ = (R− + R+) ∂tϕ0 + 2µ (R− + R+)ϕ0 + 3R 2 −R+ + 3R−R 2 +
(3.215)
en principio debemos resolver esta ecuación para ρ, pero sólo aplicaremos una condición de solubilidad para obtener
una ecuación que caracterize la dinámica del sistema. Para ello, utilizaremos uno de los pseudovectores del operador
de interacción {∂XR+, ∂XR−}, ulitizando el segundo elemento, tenemos
0 = < ∂XR−|(R− + R+)∂tϕ0 > + 2µ< ∂XR−|(R− + R+)ϕ0 > + < ∂XR−|3R 2 − R+ + 3R−R 2 +
> (3.216)
para resolver esta ecuación, mostraremos qué términos podremos despreciar pues en principio tenemos que la
distancia entre las dos estructuras localizadas es muy grande (∆ ≫ 1). Al igual que en la región anterior, tenemos
los siguientes resultados
< ∂XR−|3R 2 −R+ > = −8ε 2 e −√ ε∆
< ∂XR−|3R−R 2 +
(3.217)
> ≈ 0 (3.218)
por otro lado, para el primer término, el que contiene la variación espacial de la pertubación en la fase con respecto
al tiempo, la podemos escribir como
∂tϕ0 = ∂t{ ˙ ∆(t)
f(x, t)}
2
(3.219)
= ¨ ∆
2 f(x, t) + ˙ ∆
2 ∂tf(x, t) (3.220)
48