universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

eemplazando la ecuación (3.166), en la ecuación (3.161), tenemos
L ≈ L− − 12εe −√ ε|X− ∆
2 |
1 − e −2√ ε|X− ∆
2 |
e −√ ε|X+ ∆
2 |
1 − e −2√ ε|X+ ∆
2 |
− 6εe −2√ ε|X− ∆
2 | (3.167)
conservando términos hasta oden O e −2√ε|X− ∆
2 |
ó orden O e −2√ε|X+ ∆
2 |
, tenemos
L ≈ L− − 12εe −√ ε|X− ∆
2 | e − √ ε|X+ ∆
2 | − 12εe −2 √ ε|X− ∆
2 | (3.168)
cuando el punto de observación está muy alejado del corazón de los solitones, tenemos que e −√ ε|X− ∆
2 | e − √ ε|X+ ∆
2 |
y e −2√ ε|X− ∆
2 | son del mismo orden, así tenemos
L ≈ L− + O e −2√2|X− ∆
2 |
, (3.169)
es decir, el operador del sistema (dos solitones seprados por una distancia ∆) se puede aproximar como el operador
de un solitón ubicado en la posicón (X = −∆ 2 ) más un término exponencialmente pequeño.
Ahora hacemos el mismo cálculo, pero contruyendo el operador para un solitón ubicado en la posicón (X = ∆
2 ) a
partir del operador, para ello, realizamos el mismo procedimiento a partir de la ecuación (3.147)
L = ε − 3R 2 − ∂XX (3.170)
= ε − 3 (R− + R+) 2 − ∂XX (3.171)
= ε − 3 R 2 − + 2R−R+ + R 2
+ − ∂XX
(3.172)
= ε − 3R 2
+ − ∂XX − 6R−R+ − 3R 2 −
(3.173)
recordando el términos entre paréntesis como el operador del solitón ubicado en la posición X = ∆
2 como se definió en
la ecuación (3.104), tenemos
L = L+ − 6R−R+ − 3R 2 −
reemplazando la aproximación para la función R−, ecuación (3.166)
L ≈
√
−
L+ − 6 2εe √ ε|X+ ∆
2 |
1 − e −2√ε|X+ ∆
2 | √
−
R+ − 3 2εe √ ε|X+ ∆
2 |
1 − e −2√ε|X+ ∆
2 | 2 ≈ L+ − 6 √ 2εe −√ε|X+ ∆
2 |
1 − e −2√ε|X+ ∆
2 |
R+ − 6εe −2√ε|X+ ∆
2 |
1 − e −2√ε|X+ ∆
2 | 2
Conservando términos hasta orden O
e −2√ ε|X|+ ∆
2
, tenemos
(3.174)
(3.175)
(3.176)
L ≈ L+ − 6 √ 2εe −√ ε|X+ ∆
2 |
1 − e −2√ ε|X+ ∆
2 |
R+ − 6εe −2√ ε|X+ ∆
2 | (3.177)
reemplazando la aproximación para la función R+, ecuación (3.159), en la ecuación (3.176), tenemos
L ≈ L+ − 12εe −√ ε|X+ ∆
2 |
1 − e −2√ ε|X+ ∆
2 |
e −√ ε|X− ∆
2 |
1 − e −2√ ε|X− ∆
2 |
− 6εe −2√ ε|X+ ∆
2 | (3.178)
conservando términos hasta orden O e −2√ε|X− ∆
2 |
y O e −2√ǫ|X− ∆
2 |
, tenemos
L ≈ L+ − 12εe −√ ε|X+ ∆
2 | e − √ ε|X− ∆
2 | − 6εe −2 √ ε|X+ ∆
2 | (3.179)
Cuando el punto de observación está muy alejado del corazón del solión los términos e −√ ε|X+ ∆
2 | e − √ ε|X− ∆
2 | y
e −2√ ε|X+ ∆
2 | son del mismo orden. Luego, tenemos que el operdor del sistema se puede escribir como el operador
del solitón ubicado en la posición X = ∆
2
+más un término exponencialmente pequeño, es decir,
L ≈ L+ + O e −2√ε|X+ ∆
2 |
44
(3.180)