universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

∞
< f|g > = f · g
−∞
∗ dx (3.109)
donde el producto interno se extiende sobre todo el espacio y g∗ representa el complejo conjugado de g.
Ahora, definimos el siguiente operador l = ∂X, así
∞
< f|lg > = f · (∂Xg
−∞
∗ )dx (3.110)
∞
∞
=
(∂Xf) · g ∗ dx (3.111)
∂X (f · g
−∞
∗ )dx −
ahora haremos una condición muy importante, asumiremos que los vectores (funciones) en los extremos del expacio
son nulos, es decir,
∞
luego,
∂X (f · g
−∞
∗ )dx = f · g ∗ | ∞ −∞
luego, al aplicar dos veces el mismo operador, tenemos
−∞
= 0 (3.112)
∞
< f|lg > = − (∂Xf) · g ∗ dx (3.113)
∞
= −< l † f|g > (3.114)
< f|llg > = −< l † f|lg > (3.115)
= < l † l † f|g > (3.116)
así, con la definción este operador (l = ∂X), tenemos l = −l † y ll = l † l † = (ll) † . Ahora mostraremos que el el
operador del sistema es autoadjunto, en efecto,
calculando término por término, tenemos
< f|Lg > = < f| ε − 3R 2 − ll g > (3.117)
= < f|εg > + < f|−3R 2 g > + < f|llg > (3.118)
∞
< f|εg > = f · (εg) ∗ dx (3.119)
−∞
dado que ε es un parámetro medible del sistema, es decir, es un parámetro real
∞
< f|εg > = fε · g ∗ dx (3.120)
−∞
= < fε|g > (3.121)
< f|−3R 2 ∞
g > = f · −3R 2 g ∗ dx (3.122)
tenemos que R está compuesta por funciones reales, luego
< f|−3R 2 ∞ 2
g > = f · −3R · g ∗
−∞
−∞
(3.123)
= < f · −3R 2 |g > (3.124)
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