universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

Capítulo 7
Formación de estructuras en sistemas
fuera del equilibrio: solitones y
coarsening
7.1. Interacción entre dos π-solitones
7.1.1. Análisis de las regiones permitidas en el problema de la cadena de péndulos
En esta sección realizaremos un análisis completo de la interacción de dos π-solitones, en la región del espacio
de parámetros donde el sistema se considera muy disipativo. (colocar una figura donde se cumple estacondición).
La ecuación que rige esta interacción en una región donde el sistema es muy disipativo es:
48
˙∆∓ = −
γ2 − µ 2
√
ε∓exp
2µ
− √ ε∓∆
(7.1)
donde γ es proporcional a la amplitud del forzamiento vertical sobre la cadena de péndulos, µ es proporcional a
la disipación de sistema, ν es proporcional a la frecuencia del forzamiento, también llamado detuning y ∆ es la
distancia entre los solitones. Definimos la siguientes constantes α = 48√γ2−µ 2
2µ y ε∓ = ν ∓ γ2 − µ 2 . Así la ecuación
de interacción queda reescrita como
˙∆∓ = −α √ ε∓e −√ ε∓∆
para que esta ecuación tenga significado físico, debemos exigir que el argumento que está dentro de la raiz de la
ecuación de los parámetros α y ε∓ sea mayor o igual a cero, es decir,
(7.2)
γ 2 − µ 2 ≥ 0 (7.3)
γ 2 ≥ µ 2
/ √
(7.4)
|γ| ≥ |µ| (7.5)
La región permitida se muestra en la siguiente figura. Cabe notar que µ < 0 no tiene significado físico pues es un
parámetro proporcional a la disipación del sistema con respecto al medio.
Por otro lado, analizaremos el parámetro ε∓, donde nuevamente exigimos que ε∓ ≥ 0, para que la ecuación de
interacción tenga significado físico, es decir, sea un valor real. Para ello debemos exigir que
ν ∓ γ 2 − µ 2 > 0 (7.6)
ν > ± γ 2 − µ 2 / () 2
ν 2 > γ 2 − µ 2
γ 2 − ν 2 ≤ µ 2
63
(7.7)
(7.8)
(7.9)