universidad de chile dinámica de dominios en sistemas forzados ...

despreciando nuevamente el término de orden O(ρ)ϕ, es decir, el término 2ρ cos2θ0ϕ ≈ 0, tenemos
R∂Tϕ = νR + νρ − (R + ρ) 3 − ∂XXR − ∂XXρ − γRsin 2θ0 − 2γRcos2θ0ϕ − γρ sin2θ0
ahora, desarrollaremos el término (R + ρ) 3
conservando los términos hasta orden O(ρ), tenemos
(R + ρ) 3 = R 3 + 3R 2 ρ + 3Rρ 2 + ρ 3
luego reemplazando el expresión (A.6) en la ecuación (7.36), obtenemos
(3.36)
(3.37)
(R + ρ) 3 ≈ R 3 + 3R 2 ρ (3.38)
R∂Tϕ = νR + νρ − R 3 − 3R 2 ρ − ∂XXR − ∂XXρ − γRsin2θ0 − 2γRcos2θ0ϕ − γρ sin2θ0
(3.39)
utilizando las ligaduras de las ecuaciones (7.20) y (7.21), tenemos
R∂Tϕ = νR + νρ − R 3 − 3R 2
ρ − ∂XXR − ∂XXρ − γR ± 1
µ
γ2 − µ 2 − 2γR ϕ − γρ ±
γ
γ
1
γ2 − µ 2 (3.40)
γ
R∂Tϕ = νR + νρ − R 3 − 3R 2 ρ − ∂XXR − ∂XXρ ∓ R γ 2 − µ 2 − 2µRϕ ∓ ρ γ 2 − µ 2 (3.41)
reagrupando algunos términos, tenemos
R∂Tϕ =
ν ∓ γ 2 − µ 2
R +
ν ∓ γ2 − µ 2
ρ − R 3 − 3R 2 ρ − ∂XXR − ∂XXρ − 2µRϕ (3.42)
donde definimos el siguiente parámetro (que ya hemos definido en el capítulo de soluciones estacionarias)
luego la expresión (A.10) adopta la forma
ε = ν ∓ γ 2 − µ 2 (3.43)
R∂Tϕ = εR + ερ − R 3 − 3R 2 ρ − ∂XXR − ∂XXρ − 2µRϕ (3.44)
reeagrupando nuevamente los términos, tenemos
R∂Tϕ = ε − 3R 2 2
− ∂XX ρ + ε − R − ∂XX R − 2µRϕlabelec45 (3.45)
donde definimos el siguiente operador llamamdo Operedor del sistema. 1
Definición: Definimos el siguiente operador como Operador del sistema pues el cuenta con toda la información
acerca de la interacción del sistema.
L = ε − 3R 2 − ∂XX
(3.46)
así la ecuación (A.13) toma la forma
R∂Tϕ = Lρ + ε − R 2
− ∂XX R − 2µRϕ (3.47)
sabemos que las funciones R− y R+ (parte radial de las soluciones estacionarias) satisfacen la siguiente ecuación 2
0 = εR± − R 3 ± − ∂XXR±, (3.48)
1 la definición de este operador es sólo con fines matemáticos que se verá más adelante en este capítulo
2 ver capíputlo de soluciones estacionarias
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