Dessiner

52 CHAPITRE 3. COURBES
\newcommand {\axes} {
\draw[->] (\xmin,0) -- (\xmax,0);
\draw[->] (0,\ymin) -- (0,\ymax);
}
% Commande qui limite l’affichage à (xmin,ymin) et (xmax,ymax)
\newcommand {\fenetre}
{\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax);}
3.5 Exercices
3.5.1 Ellipse. Angles avec circle et \clip
Illustrer la propriété suivante : la tangente et la normale en un point A àuneellipsesontles
bissectrices de (AF, AF 0 ),oùF et F 0 sont les foyers de l’ellipse.
A
•
F 0
P
•
F
Echelle 0.5
⇢ x = 5 cos(✓)
Ellipse (représentation paramétrique) :
y =3sin(✓)
Foyers F (4, 0) et F 0 ( 4, 0) car 3 2 +4 2 =5 2 .
A(2, 2.75)
Tangente : y = 0.26x +3.27, normale:y =3.82x 4.89
Angle droit : (2.25,3.72) -- (1.28,3.97) -- (1.03,3)
Les coordonnées ont été obtenues avec GeoGebra.
Pour les marques d’angle, on a tracé des cercles de centre A (rayons 1 et 1.2), et on n’en a
montré que la partie intérieure aux triangles AF 0 P et AP F , P étant le point de la normale sur
l’axe Ox : P (1.28, 0). Pournemontrerqu’unepartie,onutilise\clip, etpourlimiterlaportéede
ce clip, on utilise un environnement \begin{scope} ... \end{scope}
\begin{scope}
% pour limiter la portée du \clip
\clip (a) -- (p) -- (f2) -- cycle; % triangle APF’
\draw [gray] (a) circle (1); % cercle pour arc
\end{scope}
3.5.2 a b = b a . xscale, yscale
Illustrer la propriété suivante : l’équation a b = b a n’a que deux solutions entières (a, b) avec
a 6 b : (2, 2) et (2, 4)
L’équation est équivalente à ln(a) = ln(b) · Pour illustrer cela, on trace la courbe de x 7! ln(x)
a b
x
et on étudie ses intersections avec des droites horizontales y = k. L’étudedusensdevariation
montre un maximum en e et une limite de 0 en +1. Donclaseulesolutionenvisageableesta =2.