Dessiner

62 CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
Pour cela, il reste de nombreux choix supplémentaires à faire et de problèmes auxiliaires à
résoudre.
On choisit d’abord deux points A et B de d et on trace le segment [AB]. Demême,onchoisit
C et D sur d 0 et on trace le segment [CD]. Ce n’est pas grand chose, mais rien que cela peut
demander plusieurs essais pour que la figure ne soit pas trop grande et que la vue en perspective
soit interprétable. On choisit A(2, 1, 2); B(0, 1, 2); C(0, 2, 0); D( 1, 0, 1).
Ensuite il faut représenter le plan P par un parallélogramme. On décide de choisir [CD] comme
diagonale de ce parallélogramme. On choisit l’autre diagonale [C 0 D 0 ] parallèle à d pour bien suggérer
le parallélisme. Mais pour que le parallélogramme ne soit pas trop grand, on prend pour longueur
C 0 D 0 la moitié de AB. ✓
On obtient C 0 1, 3 2 , 1 ◆ ✓
; D 0 0, 1 ◆
2
2 , 3
·
2
Il faut ensuite représenter le plan Q par un parallélogramme. On choisit [CD] comme un des
côtés et on s’arrange pour que le côté parallèle à [CD] contienne H. Lesautressommetssontalors
E(1, 1, 1) et F (0, 1, 0).
Pour le dessin, il faut faire attention à l’ordre du tracé pour suggérer la perspective : le contour
et le remplissage du plan P doivent être faits d’abord (le plan P est placé derrière), puis celui du
plan Q avec une certaine transparence [opacity = 0.7].
B
F
H
D
E
D’
K
C’
C
A
On voit que, pour une structure mathématique relativement simple (deux plans et trois droites),
les contraintes du tracé en perspective rendent la réalisation assez délicate : il faut matérialiser les
droites par des segments et les plans par des parallélogrammes, suggérer les propriétés de la figure
(parallélisme), rendre la figure lisible et pas trop grande. Et tout cela en respectant les équations
données par l’énoncé et les règles de la représentation en perspective.
Une astuce consisterait à considérer que la figure finale n’est après tout qu’une figure plane comportant
essentiellement deux parallélogrammes, et de tracer ces parallélogrammes sans se soucier
d’un quelconque repère de l’espace. On peut alors choisir les parallélogrammes de formes arbitraires,
à condition de respecter la possibilité d’interpréter la figure comme une projection d’une
figure de l’espace.
Cependant, il ne serait plus possible de les choisir arbitrairement si on devait de plus représenter
le repère de l’espace de manière cohérente avec les équations (ou alors dans ce cas il faudrait calculer
la bonne position du repère).
4.3 Courbes et surfaces
4.3.1 Représentation paramétrique, plot, \foreach
Une courbe dans l’espace peut être définie par une représentation paramétrique à un paramètre.
On peut donc la dessiner avec l’opération plot (X, Y, Z) en exprimant X, Y et Z en fonction d’un
paramètre (nommé \x par défaut).