Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Proposição 1.2 Sejam G grupo finito e H ≤ G. Valem as seguintes afirmações:
1. xH = yH ⇐⇒ y ∈ Hx,∀x, y ∈ G;
2. |xH| = |H| , ∀x ∈ G;
3. G = x1H ˙∪x2H ˙∪ ··· ˙∪xnH. ¥
O conjunto das classes laterais à esquerda de H em G será denotado por G
H . ¯ ¯
¯ G ¯ = H
(G : H) é chamado índice de H em G.
Teorema 1.1 (Lagrange) Sejam G um grupo finito e H ≤ G. Então
|G| =(G : H) |H| .
Corolário 1.1 Seja G um grupo finito. Vale o seguinte:
1. Se |G| = n, entãox n = e, ∀x ∈ G;
2. Se |G| = p, ondep éprimo,entãoG écíclico. ¥
Corolário 1.2 (Pequeno Teorema de Fermat) Se p ∈ N é um número primo, então
a p−1 ≡ 1modp, ∀a ∈ Z − pZ.
Sejam G um grupo e H ≤ G. Dizemos que H é normal em G, em símbolos H E G, se
H g ⊆ H, ∀g ∈ G.
Claramente os subgrupos triviais de G são normais em G. Uma verificação simples mostra
que Z(G) E G. Se G é abeliano, então H E G, ∀H ∈ Sub(G). Um grupo é dito simples se
seus únicos subgrupos normais são os triviais.
Proposição 1.3 Seja G um grupo. As seguintes afirmações são verdadeiras:
1. N E G ⇔ N g = N, ∀g ∈ G;
2. N1,N2 E G ⇒ N1 ∩ N2 E G;
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