Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

3.2 Operações polinomiais
Nesta seção descreveremos nossas operações básicas nos polinômios sobre K. Usaremos
estas operações no algoritmo da resolvente linear.
Definição 3.1 Sejam f = f(x),g = g(x) ∈ K[x] − {0}. OMDC(f,g) édefinido como
sendo o polinômio mônico em K[x] de maior grau que divide f(x) e g(x).
que
Se ∂g > 0, então, pelo Algoritmo da Divisão, existem únicos q(x),r(x) ∈ K[x] tais
f(x) =q(x)g(x)+r(x), onde r =0 ou ∂r < ∂g.
Denotaremos este r(x) por f mod g. Como qualquer divisor comum de f e g divide
f mod g, podemos usar a seguinte formulação recursiva para encontar MDC(f,g):
Se f mod g é o polinômio nulo, então MDC(f,g) = 1g(x),
ondecéocoeficiente líder
c
de g(x);se∂g =0,entãoMDC(f,g) =1; caso contrário, MDC(f,g) =MDC(g, f mod g).
Seja e um inteiro não-negativo e seja N o corpo de decomposição de f(x) sobre K.
Dizemos que f(x) possui um zero v de multiplicidade e se (x − v) e | f(x) mas (x − v) e+1 -
f(x) em N[x]. Escrevemos e = mult(v, f). Nocasoemquee =1,dizemosquev é raiz
simples de f(x).
Note que MDC(f,g) sobre qualquer extensão L de K éomesmoqueMDC(f,g)
sobre K. Isto ocorre porque o algoritmo para calcular MDC(f,g) sobre K éexatamente
omesmosobreL. Em particular, para L o corpo de decomposição de f(x)g(x), os zeros
de MDC(f,g) são os zeros comuns a f e g esev é um zero de MDC(f,g), então
3.3 A resultante
mult(v, MDC(f,g)) = min{mult(v, f),mult(v, g)}.
Sejam f = f(x), g = g(x) polinômios em K[x]. Sejam
f(x) =a(x − v1) ···(x − vn) e g(x) =b(x − w1) ···(x − wm)
sobre o corpo de decomposição de f(x)g(x). Além disso, assumimos que n = ∂f > 0 e
m = ∂g.
Discorreremos sobre a resultante de maneira semelhante a Childs [2, p. 283]. Confira
também Collins [3].
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