Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Prova. Temos que τFt(V )=Ft(V ), ∀τ ∈ H. Se fosse τFt(V )=Ft(V ) ,paraalgum
τ /∈ H, entãoFt(V ) seria um zero repetido de R(F, f), uma contradição. ¥
A resolvente R(F, f) pode ser construída pela sua expansão simbolicamente nos zeros
de f(x). Daí, com o auxílio do Teorema Fundamental dos Polinômios Simétricos, seus
coeficientes são determinados em termos dos coeficientes de f(x). Infelizmente, a não ser
que ∂R(F, f) seja pequeno ou f(x) seja esparso (possua poucos coeficientes não-nulos),
isto leva a uma manipulação simbólica demasiadamente extensa. Entretanto, se usamos
este método, obtemos uma fórmula explícita para os coeficientes de R(F, f) em termos
dos coeficientes de f(x). No Capítulo 4, descreveremos um algoritmo exato para construir
resolventes lineares. Este algoritmo não expande a resolvente simbolicamente nos zeros
de f(x). SejamK = Q, f(x) ∈ Z[x] mônico e F ∈ Z[x1,...,xn]. Entãooscoeficientes de
f são inteiros. Assim, se formarmos R(F, f) usando aproximações
númericasparaoszerosdef(x) e soubermos que a exatidão dessas aproximações é tal
queoscoeficientes de R(F, f) são calculados com um erro absoluto menor que 1/2, então
podemos determiná-los exatamente por arredondamento. Stauduhar usa este método logo
abaixo. Na Seção 5.1 discutiremos uma aproximaçãomodularparaocálculodeR(F, f)
quando F e f(x) são como no parágrafo precedente. Assumiremos que existe um algoritmo
de fatoração sobre K[x]. Na prática, para K = Q, f(x) ∈ Z[x] mônico e F ∈ Z[x1,...,xn],
pode-se determinar candidatos a fatores de R(F, f) por uso de aproximações númericas
para os zeros de f(x).
2.4 Funções pertencentes a grupos
Sejam F ∈ K[x1,...,xn] e G = stabSn(F ). Neste caso, dizemos que F pertence a G.
Em particular, a função alternada D[x1,...,xn] pertence a An. Note que para σ ∈ Sn,
σ ∗ F pertence a σ −1 Gσ e, além disso, σ(V ) ∗ F é um zero de R(F, f). Aplicando a
Proposição 2.2, vemos que se Gal(f/K) ≤ σ −1 Gσ, paraalgumσ ∈ Sn, entãoR(F, f)
possui um fator linear. Reciprocamente, se R(F, f) possui um fator linear não repetido,
então Gal(f/K) está contido em algum conjugado de G. Embora fatores lineares sejam
fáceis de se encontrar, os mesmos podem fornecer informação apenas sobre a inclusão
de Gal(f/K) em um grupo e seus conjugados. A fatoração completa de uma resolvente
escolhida adequadamente muitas vezes distingue Gal(f/K) dentre muitos possíveis can-
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