Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

e d(x) =x 2 − D. Se estivermos trabalhando sobre Z, podemostomarD como sendo a
parte livre de quadrado (D não é divisível por nenhum primo ao quadrado) de disc(f).
Seja r(x) ∈ K[x] um fator mônico irredutível de uma resolvente R(F, f). Suponhamos
r(Ft(V )) = 0 para alguma ordenação V dos zeros de f(x) e Ft ∈ Sn ∗ F . As seguintes
condições são equivalentes:
(1) stabGal(f/K)(Ft) ≤ An;
(2) K( √ D) ⊆ K(Ft(V ));
(3) SZ(r(x),d(x)) temumfatorsobreK de grau ∂r (cf. Seção 4.2 para uma explanação
de SZ ).
Agora, suponhamos n =6. Suponhamos Gal(f/K)=T 8 ou T 11. Sejar(x) ∈ K[x] o
fator mônico irredutível de LR([1 3 ],f),com∂r =12.EntãoGal(f/K)=T 8 se, e somente
se, SZ(r(x),d(x)) temumfator(sobreK) degrau12. Suponhamos Gal(f/K)=T 9 ou
T 13. Sejar(x) ∈ K[x] o fator mônico de LR([1 3 ],f), com∂r =2.EntãoGal(f/K)=T 9
se, e somente se, SZ(r(x),d(x)) tem um fator de grau 2. Suponhamos Gal(f/K)=T 14
ou T 16. Sejar(x) =LR([1 3 ],f). EntãoGal(f/K)=T 14 se, e somente se, SZ(r(x),d(x))
tem um fator de grau 20.
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