Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Definição 3.3 Seja f(x) = P n
i=0 aix i um polinômio sobre K. Aderivada formal de f(x),
denotada por f 0 ou f 0 (x), é dada por
f 0 = f 0 (x) =
onde iai significa ai + ···+ ai (i vezes).
nX
iaix i−1 ,
i=1
Existe uma importante relação entre a multiplicidade dos zeros de f(x) eoszerosde
f 0 (x), a qual estabeleceremos na seguinte proposição:
Proposição 3.1 Suponhamos que f(x) possui um zero v de multiplicidade e>0. Se
Char(K) - e, entãomult(v, f 0 )=e − 1.
Prova. Por hipótese, f(x) =(x−v) e h(x). Então,f 0 (x) =e(x−v) e−1 h(x)+(x−v) e h 0 (x).
Assim, mult(v, f 0 ) ≥ e − 1. Agora, se (x − v) e | f 0 (x), então(x − v) | eh(x). Isto não
pode acontecer pois, como Char(K) - e, entãoe 6= 0epeladefinição de multiplicidade,
(x − v) - h(x). Daí, mult(v, f 0 ) n. Paratodozerov de f(x) de multiplicidade
e>1,v éumzerodeMDC(f,f 0 ) de multiplicidade e−1 e MDC(f,f 0 ) não possui outros
zeros. ¥
3.5 Polinômios “zeros múltiplos” e “zeros da soma”
Sejam f(x) ∈ K[x] um polinômio mônico, n = ∂f, v1,...,vn seus zeros e d ∈ K.
Queremos encontrar o polinômio mônico de grau n com zeros dv1,...,dvn. Tal polinômio
é denotado por MZ(d, f) (Múltiplos de Zeros) e é dado pela seguinte expressão:
⎧
⎨ d
MZ(d, f) =
⎩
nf( x),
se d 6= 0
d
xn , se d =0.
Sejam f = f(x), g = g(x) ∈ K[x] polinômios mônicos tais que
f(x) =(x − v1) ···(x − vn) e g(x) =(x − w1) ···(x − wm)
sobre o corpo de decomposição de f(x)g(x). Queremos encontrar o polinômio mônico em
K[x] de grau mn com zeros
vi + wj,i=1,...,n,j =1,...,m.
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