Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Notação: d = MDC{a1,a2,...,an}. Em particular, se d =1, dizemos que a1,a2,...,an
são relativamente primos. Sejam D domínio e a1,a2,...,an ∈ D. Um elemento m ∈ D é
dito mínimo múltiplo comum de a1,a2,...,an se ocorre:
(i) a1 | m, a2 | m,...,an | m;
(ii) se m 0 ∈ D étalquea1 | m 0 ,a2 | m 0 ,...,an | m 0 , então m | m 0 .
Notação: m = MMC{a1,a2,...,an}. Se, num domínio D, para todo par de elementos
a, b ∈ D, existe algum máximo divisor comum (mínimo múltiplo comum), diz-se que
D é um domínio com máximo divisor comum (mínimo múltiplo comum). Um domínio
euclidiano éumdomínioD equipado com uma função
que satisfaz às seguintes propriedades:
Φ : D ∗ −→ Z+
(i) ∀a, b ∈ D, b 6= 0, ∃t, r ∈ D tais que a = bt + r, com r =0ou Φ(r) < Φ(b);
(ii) ∀a, b ∈ D ∗ ,tem-seΦ(a) ≤ Φ(ab).
Mostra-se que (Z, +, •, | . |) e (K[x], ⊕, ¯,∂) são domínios euclidianos, onde K éum
corpo e |.| e ∂ são, respectivamente, as funções
e
|.| : Z ∗ −→ Z+
n 7−→ |n|
∂ : K[x] − {0} −→ Z+
f(x) 7−→ ∂(f(x))
Proposição 1.17 (Algoritmo da Divisão) Sejam D domínio,
f(x) ∈ D[x] e g(x) =bmx m + bm−1x m−1 + ···+ b1x + b0 ∈ D[x]
tal que bm ∈ U(D). Então:
1. Existem t(x),r(x) ∈ D[x] tais que f(x) =g(x)t(x)+r(x), com∂r(x)