Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Proposição 2.2 Seja t ∈ I ⊂ {1,...,k}.
(1) Se Gal(f/K) ∗ Ft = {Fi; i ∈ I} eosFi(V ) são distintos, ∀i ∈ I, entãog(x) =
Q
i∈I (x − Fi(V )) é um polinômio irredutível sobre K;
(2) Se g(x) = Q
i∈I (x − Fi(V )) é um fator irredutível não repetido de R(F, f), então
Gal(f/K) ∗ Ft = {Fi; i ∈ I}.
Prova. (1 ) Basta aplicar o Lema 2.1 e a Proposição 2.1. (2 ) Como N é separável sobre
K, g(x) deve ter zeros distintos. Usando a Proposição 2.1 e o Lema 2.2, temos que
{Fi(V ); i ∈ I} = {σ(V ) ∗ F ; σ ∈ Gal(f/K)}.
Como g(x) é um fator não repetido de R(F, f), ∀i ∈ I e j =1,...,k, Fi(V )=Fj(V ) se,
e somente se, i = j. Daí, segue o resultado. ¥
Corolário 2.2 Suponhamos que R(F, f) tem zeros distintos. Então a parti-
ção do comprimento das órbitas de Sn ∗ F sob a ação de Gal(f/K) éigualàpartiçãode
∂(R(F, f)) induzida pelos fatores irredutíveis de R(F, f) sobre K. ¥
Um método para lidar com a ocorrência de zeros repetidos de R(F, f) éousode
uma transformação apropriada de Tschirnhaus aplicada a f(x). Agora suponhamos que
R(F, f) tem zeros distintos σ1(V ) ∗ F,...,σk(V ) ∗ F ,onde{σ1,...,σk} éumconjuntode
representantes das classes laterais à esquerda de stabSn(F ) em Sn. Note que Gal(f/K)
age sobre os zeros de R(F, f) por permutação dos σi. Assim,
Gal(R(F, f)/K) =Im(rep(Gal(f/K),σ, ∗)),
onde σ = {σ1,...,σk} eaação∗ édefinida por τ ∗ σi = τσi, ∀τ ∈ Gal(f/K) e i ∈
{1,...,k}. Notemos que a partição do comprimento das órbitas de Sn ∗ F sob a ação de
Gal(f/K) depende apenas de stabSn(F ).
Lema 2.3 Seja Ft(V ) um zero de um fator irredutível não repetido da resolvente R(F, f).
Então K(Ft(V )) éocorpofixo correspondente a H, onde H ≤ G(N/K) é levado sobreje-
tivamente em stabGal(f/K)(Ft) sob
rep(G(N/K),V, ∗).
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