Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

onde x1,x2,...,xn são indeterminadas. Sejam t1,t2,...,tn! as expressões distintas obtidas
de t pela aplicação de todas as possíveis permutações para os índices dos xi. Ponha
F = F (z,x1,x2,...,xn) = n
Π (z − ti).
F tem coeficientes simétricos nos vi, daí podem ser expressos em termos dos coeficientes
de f(x) edosxi. Seja a fatoração de F em fatores irredutíveis sobre K[z, x1,x2,...,xn] :
F = F1F2 ···Fr.
As permutações dos xi que deixam invariante qualquer fator, digamos F1, formam um
grupo G.
Teorema 2.1 Se assumirmos que os zeros de f(x) estão ordenados de modo que x1v1 +
x2v2 + ···+ xnvn éumzerodeF1, entãoGal(f/K)=G. ¥
Este método é claramente impraticável do ponto de vista computacional. Apesar disso,
o resultado do Teorema 2.1 é usado para provar um resultado útil computacionalmente
para o caso K = Q . Este resultado é estabelecido no Teorema 2.2.
2.2 A determinação dos tipos ciclos em Gal(f/Q)
Sejam f(x) ∈ Z[x] um polinômio mônico e separável, n = ∂f > 1 e p ∈ N um primo.
Definimos o tipo ciclo de uma permutação σ ∈ Sn como sendo a partição de n induzida
pelos comprimentos dos ciclos disjuntos de σ. O tipo fator de f(x)modp édefinido como
sendoapartiçãoden induzida pelos graus dos fatores irredutíveis de f(x)modp sobre Zp.
Um método útil para descobrir informação sobre Gal(f/Q) é determinar tipos ciclos de
suas permutações, por fatoração de f(x)modp sobre Zp, p primo, com p - disc(f). Este
método tem sido discutido por muitos autores, incluindo van der Warden, Zassenhaus e
McKay [10, 14, 15].
Teorema 2.2 Para todo primo p tal que p - disc(f), o tipo fator de
f(x)modp é tipo ciclo de alguma permutação em Gal(f/Q). ¥
O próximo resultado, que segue do Teorema da Densidade de Chebotarev, também
pode ser usado:
30
i=1