Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

o polinômio f(x) do Exemplo 2.1 tem todos os zeros reais. Isto é uma condição necessária
para que | Gal(f/Q) | seja ímpar.
2.3 O polinômio resolvente
Sejam f(x) ∈ K[x] separável, n = ∂f > 0 e V =(v1,v2,...,vn) uma ordenação
dos zeros de f(x). Resolventes são ferramentas clássicas e úteis, do ponto de vista com-
putacional, para determinar Gal(f/K) e é neste método que nos concentraremos. Para
F ∈ K[x1,x2,...,xn], usaremos a resolvente R(F, f) (com zeros distintos) para determi-
nar a partição do comprimento das órbitas de Sn ∗ F sobre Gal(f/K). SejaN ocorpode
decomposição de f(x) sobre K. EntãoG(N/K) age sobre N de modo natural como um
grupo de automorfismos. Mostraremos agora que qualquer órbita dos elementos de N, sob
aaçãodeG(N/K), consiste precisamente dos zeros de um polinômio mônico irredutível
sobre K. Primeiramente, provaremos o seguinte:
Lema 2.1 Sejam W = {ω1,ω2,...,ωk} ⊂ N (com os ωi distintos) e
g(x) = Yk
i=1
(x − ωi).
G(N/K) leva W em W se, e somente se, g(x) ∈ K[x].
Prova. Sejam
g(x) =
kX
aix i ,ω ∈ W, σ ∈ G(N/K)
i=0
e suponhamos que g(x) ∈ K[x]. Comoσ é um automorfismo de N fixando K, temos:
0=g(ω) =σ(g(ω)) =
kX
σ(ai)σ(ω i )=
i=0
kX
aiσ(ω) i = g(σ(ω)).
Assim, σ(ω) ∈ W, ∀ω ∈ W, ∀σ ∈ G(N/K) ,ouseja,G(N/K) leva W em W . Reciproca-
mente, suponhamos que G(N/K) leva W em W . Então qualquer elemento σ ∈ G(N/K)
induz uma permutação de W . Assim, σ(ai) =ai, para todo coeficiente ai de g(x), poisai
éumafunçãosimétricadeω1,ω2,...,ωk. Istoimplicaqueai ∈ K, ∀i =1,...,k, ou seja,
g(x) ∈ K[x]. ¥
Proposição 2.1 Sejam G = G(N/K) e ω ∈ W = {ω1,...,ωk} ⊂ N (com os ωi distin-
tos). Denotemos por G(ω) o conjunto {σ(ω); σ ∈ G}. Tem-se W = G(ω) se, e somente
se, g(x) = Qk i=1 (x − ωi) é um polinômio irredutível sobre K.
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i=0