Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Uma permutação σ ∈ Sn é chamada de ciclo se existem elementos distintos i1, ..., ir ∈
{1, ..., n}, 1 ≤ r ≤ n, tais que σ(i1) =i2,σ(i2) =i3, ..., σ(ir−1) =ir,σ(ir) =i1 e σ(j) =j,
∀j ∈ {1,...n} − {i1,...,ir}. Tal ciclo será denotado por
(i1,i2,...,ir).
r é chamado de comprimento do ciclo. Os ciclos tais que r =2são também chamados de
transposições. Dois ciclos
são ditos disjuntos se
(i1,i2,...,ir), (j1,j2,...,js) ∈ Sn
{i1,i2,...,ir} ∩ {j1,j2,...,js} = ∅.
Éfácilverqueseσ, τ ∈ Sn são ciclos disjuntos, então στ = τσ.
Proposição 1.9 Seja σ ∈ Sn, σ 6= (1). Então σ é igual a um produto de ciclos disjuntos
de comprimentos ≥ 2; tal fatoração é única, a menos da ordem. ¥
Seja D = D(x1,...,xn) a seguinte função nas variáveis x1,...,xn, onde
xixj = xjxi, ∀i, j ∈ {1,...,n},
D(x1,...,xn) =(x1 − x2)(x1 − x3) ···(x1 − xn)(x2 − x3) ···(x2 − xn) ···(xn−1 − xn)
o qual denotaremos por
Se σ ∈ Sn, denotamos por
D = Y
D σ = Y
1≤i