Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

1.3 Extensões Algébricas
Seja L/K uma extensão. Um elemento α ∈ L éditoalgébrico sobre K se ∃ f(x) ∈
K[x]\{0} tal que f(α) =0. Já L/K éditaalgébrica se todo elemento de L é algébrico
sobre K. Prova-se que dados L/K algébrica e α ∈ L, existe único p(x) ∈ K[x] mônico,
irredutível, tal que p(α) =0.Talp(x) é denotado por irr(α, K). SejaL/K uma extensão
algébrica. Dizemos que α ∈ L é separável sobre K se α éraizsimplesdeirr(α, K) (para
adefinição de raiz simples, ver Cap. 4). Já L/K é dita separável se cada um dos seus
elementos é separável sobre K. Um corpo K éditoperfeito se todas as suas extensões
finitas são separáveis. Prova-se que corpos finitos e corpos de característica zero são
perfeitos. Seja L/K umaextensãodecorpos. Ogrupo de Galois de L/K, denotado por
G(L/K), édefinido como sendo
G(L/K) ={σ ∈ Aut(L); σ(a) =a, ∀a ∈ K}.
Dizemos que uma extensão algébrica N/K é normal se ∀ p(x) ∈ K[x] irredutível tal
que ∃α ∈ N raiz de p, entãop(x) se decompõe sobre N[x]. Sejam L um corpo e G um
subconjunto não vazio de Aut(L). Então, o conjunto L G ⊆ L, definido por
L G = {α ∈ L; σ(α) =α, ∀σ ∈ G}
éumsubcorpodeL, denominado de subcorpo fixado por G. Uma extensão algébrica N/K
éditagaloisiana se N G(N/K) = K. Prova-se que N/K finita é galoisiana se, e somente
se, é normal e separável. Seja R um conjunto não-vazio. Uma relação ≤ entre pares de
elementos de R diz-se uma relação de ordem parcial em R se:
1. a ≤ a, ∀a ∈ R;
2. a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b, ∀a, b ∈ R;
3. a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c, ∀a, b, c ∈ R.
Neste caso, dizemos que (R, ≤) éumconjunto parcialmente ordenado. Sejam(R, ≤) um
conjunto parcialmente ordenado e a, b ∈ R. Dizemos que c ∈ R é supremo de a e b se:
1. a ≤ c e b ≤ c;
2. Se c 0 ∈ R étalquea ≤ c 0 e b ≤ c 0 ,entãoc ≤ c 0 .
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