Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Um domínio D éditodomínio fatorial ou domínio de fatoração única se todo elemento
não-invertível de D se escreve de “maneira única” como produto de elementos irredutíveis
de D, isto é, de maneira precisa:
(i) Todoelementonão-invertíveldeD éumprodutofinito de fatores irredutíveis;
(ii) Se {pi}1≤i≤s e {qj}1≤j≤t são famílias finitas de elementos irredutíveis de D tais
que p1 ···ps = q1 ···qt, então s = t e, a menos de ordenação, pi éassociadoa
qi, ∀i =1,...,s(isto é, existe uma permutação σ de {1,...,s} tal que pi é associado
a qσ(i), ∀i =1,...,s ).
É fácil ver que, em um domínio fatorial, todo elemento irredutível é primo e que todo
domínio fatorial é um domínio com máximo divisor comum (domínio com mínimo múltiplo
comum).
Teorema 1.13 Seja D um domínio euclidiano. Então:
1. ∀a, b ∈ D, com b 6= 0, ∃d = MDC{a, b} e ∃r, s ∈ D tais que d = ra + sb;
2. Tais r e s podem ser efetivamente calculados quando a divisão em D éefetiva(isto
é, existe um algoritmo que calcula r e s quando existe um algoritmo de divisão em
D, similar ao Algoritmo de Euclides para os inteiros). ¥
Seja (D, +, •) um domínio. Um corpo de frações de D éumcorpo(K, ⊕, ¯) tal que:
(i) (D, +, •) ⊆ (K, ⊕, ¯), isto é, existe D 0 ⊆ K, D 0 domínio, tal que D 0 ∼ = D, a restrição
de ⊕ para D 0 é igual a + e a restrição de ¯ para D 0 é igual a •;
(ii) ∀α ∈ D ∗ , ∃ξ ∈ K tal que αξ = ξα =1, ou seja, todo elemento não-nulo de D possui
um inverso em K.
Proposição 1.18 Seja D um domínio qualquer. Vale o seguinte:
1. Existe um corpo de frações de D;
2. Se K1 e K2 são corpos de frações de D, então K1 ∼ = K2. ¥
Em particular, Q éocorpodefraçõesdeZ.
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