Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

onde aij ∈ A, i, j ∈ Z+ tais que i + j ≤ n e ai+k,j+l =0, ∀k, l ∈ N, ∀i, j ∈ Z+ tais que
i + j = n. Do mesmo modo, dado
f = f(x1,x2) =
o grau de f(x1,x2) édefinido como sendo
nX
nX
aijx
i=0 j=0
i 1x j
2 ∈ A[x1,x2],
∂f(x1,x2) =max{r + s ∈ Z+; ars 6= 0e aij =0, ∀i, j ∈ Z+ com i + j>r+ s }.
Por indução, define-se A[x1,...,xn] =(A[x1,...,xn−1])[xn]. Sejam D domínio, α ∈ D,
f(x) = Pn i=0 aixi ∈ D[x] e o homomorfismo
ϕα : D[x] −→ D
nP
aixi 7−→ nP
aiαi i=0
Define-se a avaliação de f(x) em α, denotada por f(α), como sendo f(α) =ϕ α(f(x)). No
caso em que f(α) =0, dizemos que α é raiz ou zero de f(x).
Proposição 1.15 Se K éumcorpoef(x) ∈ K[x],∂f(x) =n>0, entãof(x) possui no
máximo n raízes em K eemqualquerextensãodeK . ¥
Seja p ∈ N primo. A função
i=0
ϕ : Z[x] −→ Zp[x]
nP
aixi 7−→ nP
aixi i=0
é um homomorfismo sobrejetor de anéis, onde ai significa ai mod p. Dado f(x) ∈ Z[x],
então ϕ(f(x)) será denotado por f(x)modp. Sejam D domínio e a ∈ D. Um elemento
b ∈ D éditodivisor ou fator de a (em D)seexistirc ∈ D tal que a = bc; dizemos também
que b divide a ou que a é múltiplo de b e denotamos b | a. Se b não é um fator de a,
dizemos que b não divide a e denotamos b - a. Se existe u ∈ U(D) tal que a = ub, dizemos
que a e b são associados. SejaD domínio. Um elemento a ∈ D ∗ éditoirredutível se
(i) a/∈ U(D);
(ii) ∀b, c ∈ D tais que a = bc, entãob ∈ U(D) ou c ∈ U(D).
Seja D domínio. Um elemento p ∈ D ∗ éditoprimo se
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i=0