Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Capítulo 3
Construção de resolventes lineares
Neste capítulo descreveremos um algoritmo para construir qualquer resolvente linear
sobre um corpo K sujeito às restrições da Seção 4.1. O algoritmo é exato, usa resultantes
de polinômios e não expande a resolvente simbolicamente nos zeros de f(x). Este avanço
foi inspirado em Trager [13], que usou resultantes polinomiais de maneira semelhante para
fatorar polinômios sobre corpos de extensões algébricas.
A utilidade da resolvente linear na calculação de Gal(f/K) quando temos um algo-
ritmo de fatoração sobre K[x] foi discutida na Seção 3.3.5.
3.1 Restrições sobre o corpo
O algoritmo da resolvente linear tem o propósito de trabalhar sobre um corpo K que
obedeça às seguintes restrições:
Se Char(K) 6= 0, então exige-se que Char(K) >D,ondeD é o grau máximo de qual-
quer polinômio usado ou construído pelo algoritmo principal ou qualquer sub-algoritmo.
Se Char(K) 6= 0,entãoChar(K) >Dse, e somente se, Char(K) - D!.
Se K é finito, precisamos de |K| grande o suficiente para construir os polinômios
exigidos por interpolação. Para esta exigência, |K| > 2D ésuficiente. Note que o nosso
interesse não é encontrar o grupo de Galois de um polinômio sobre um corpo finito (tal
grupo de Galois é sempre cíclico) e sim o de podermos usar resolventes sobre corpos finitos
em um algoritmo modular (cf. Capítulo 5).
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