Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

(i) Gi−1 E Gi, ∀i ∈ {1,...,n};
(ii) Gi
Gi−1
é abeliano, ∀i ∈ {1,...,n}.
Proposição 1.10 1. Todo subgrupo de um grupo solúvel é solúvel;
2. Todo quociente de um grupo solúvel é solúvel;
3. Sejam G um grupo e N E G. Se N e G
N
são solúveis, então G ésolúvel. ¥
Teorema 1.8 Se n ≥ 5, entãoSn não é solúvel. ¥
Teorema 1.9 (Burnside) Todo grupo finito cuja ordem é divisível no máximo por dois
primos é solúvel. ¥
Teorema 1.10 (W. Feith e J. Thompson) Todo grupo finito de ordem ímpar é solúvel.
¥
1.2 Anéis
Seja A um conjunto não-vazio, munido de duas operações binárias, denominadas soma
e produto e denotadas, respectivamente por + e •. Assim
+ : A × A → A
(x, y) 7→ x + y
e
• : A × A → A
(x, y) 7→ x • y.
Dizemos que (A, +, •) éumanel se as seguintes condições são satisfeitas:
(i) (A, +) é um grupo abeliano;
(ii) a • (b • c) =(a • b) • c, ∀a, b, c ∈ A (associatividade);
(iii) a • (b + c) =a • b + a • c, ∀a, b, c ∈ A (distributividade à esquerda);
(iv) (a + b) • c = a • c + b • c,∀a, b, c ∈ A (distributividade à direita).
Dado ( A, +, •) anel,denotaremosoelementoneutrodasomapor0 edadoa ∈ A,
denotaremos por −a seu elemento inverso com respeito à soma. De modo análogo àquele
feitoparagrupos,dadosx, y ∈ A, seu produto x • y será denotado simplesmente por
xy. Às vezes, para efeito de simplificação, anéis distintos com soma e produto distintos,
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