Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

F = e1x1 + ···+ erxr. Se, por acaso, algum ei é nulo, será considerado como simbólico
ocupante da posição i. Temos que ∂(LR(M,f)) é o número de maneiras de escolher r
objetos dentre n vezesonúmerodepermutaçõesdistintasdoselementosdeM. Assim,
µ
n r!
∂(LR(M, f)) =
r m1! ···mk! =
n!
. (2.1)
(m1! ···mk!)(n − r)!
Resolventes lineares formam uma classe geral de resolventes úteis, para qualquer grau de
f(x). Freqüentemente, a fatoração de resolventes lineares de grau relativamente baixo,
pode ser usada para determinar Gal(f/K) exatamente. Um grupo de permutações G ≤
Sn age sobre os r−conjuntos contidos em {1,...,n}, onde a ação é definida por σ ∗
{i1,...,ir} = {σ(i1),...,σ(ir)}, ∀σ ∈ G. ÉclaroqueaaçãodeG sobre Sn ∗ F , onde
F = x1 + ···+ xn, é equiva-lente à ação de G sobre os r−conjuntos de {1,...,n}. Assim,
a fatoração de LR([1 r ,f]) (com zeros distintos) determina a partição do comprimento das
órbitas de Sn ∗ {1,...,r} sob a ação de Gal(f/K). McKay e Erbach em [4, 10] sugerem o
uso de resolventes desta forma a fim de determinar a transitividade sobre os r− conjuntos
de Gal(f/K). A seguinte observação é de interesse: Suponhamos que f(x) é irredutível
(nesse caso, Gal(f/K) étransitivo)en = rs, s ∈ N,s6= 1,n.EntãoLR([1 r ,f]) (com zeros
distintos) tem t fatores irredutíveis de grau s se, e somente se, Gal(f/K) tem t sistemas de
imprimitividade de s blocos de tamanho r. Um grupo de permutações G ≤ Sn age sobre o
conjunto das r− seqüências (i1,...,ir), comij ∈ {1,...,n} eosij distintos (j =1,...,r).
Esta ação é definida por
σ ∗ (i1,...,ir) =(σ(i1),...,σ(ir)), ∀σ ∈ G.
ÉclaroqueaaçãodeG sobre Sn ∗ F ,ondeF = e1x1 + ···+ enxr, come1 6= ··· 6= er, é
equivalente à ação de G sobreasr-seqüênciasde{1,...,n}. Agora, suponhamos que
LR(M,f) =LR([e1,...,er],f)
tem zeros distintos e e1 6= ···6= er. Tem-seLR(M,f) redutível se, e somente se, Gal(f/K)
não é r−transitivo. Também existe uma interpretação referente à teoria dos corpos simples
para a fatoração deste LR(M, f). Seja z = e1vσ(1) + ···+ ervσ(r) um zero de LR(M, f)
(σ ∈ Sn). Vemos que
stabG(N/K)(z) =
r\
i=1
stabG(N/K)vσ(i)
edaí,peloLema2.3,K(z) =K(vσ(1),...,vσ(r)). Os graus dos fatores irredutíveis de
LR(M,f) correspondem aos graus sobre K dos subcorpos não-conjugados de N gerados
38