Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

O supremo de a e b se existir é único e será denotado por a∨b. Sejam(R, ≤) um conjunto
parcialmente ordenado e a, b ∈ R. Dizemosqued ∈ R é ínfimo de a e b se:
1. d ≤ a e d ≤ b;
2. Se d 0 ∈ R étalqued 0 ≤ a e d 0 ≤ b, entãod 0 ≤ d.
Oínfimo de a e b se existir é único e será denotado por a∧b. Um reticulado éumconjunto
parcialmente ordenado (R, ≤) no qual cada par de elementos a, b ∈ R possui ínfimo a ∧ b
e supremo a ∨ b. ÉfácilverqueseG éumgrupo,então(Sub(G), ⊆) é um reticulado, com
H ∨H 0 = hH ∪H 0 i e H ∧H 0 = H ∩H 0 , ∀H, H 0 ∈ Sub(G). Também verifica-se que se N/K
é uma extensão de corpos, então (Lat(N/K), ⊆) éumreticulado,comL ∨ M = hL ∪ Mi
e L ∧ M = L ∩ M,∀L, M ∈ Lat(N/K).
Teorema 1.17 (Fundamental de Galois) Seja N/K uma extensão normal com grupo
de Galois G = G(N/K).
1. A função
γ : Sub(G) −→ Lat(N/K)
H 7−→ N H
é uma bijeção que inverte ordem, com inversa
2. N H∨H0
= N H ∩ N H0
e N H∧H0
δ : Lat(N/K) −→ Sub(G)
L 7−→ G(N/L)
= N H ∨ N H0,
∀H, H0 ∈ Sub(G); G(N/(L ∨ M)) =
G(N/L) ∩ G(N/M) e G(N/(L ∩ M)) = G(N/L) ∨ G(N/M), ∀L, M ∈ Lat(N/K);
3. (L : K) =(G(N/K) :G(N/L)), ∀L ∈ Lat(N/K) e (G : H) =(N H : K), ∀H ∈
Sub(G). Além disso, se γ(H) =L, então | H |= (N : L);
4. Se b ∈ N étalqueσ(b) =b, ∀σ ∈ G(N/K), então b ∈ K;
5. L/K énormalse,esomentese,G(N/L) E G(N/K). ¥
Corolário 1.7 Toda extensão normal é simples. ¥
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