Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

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Proposição 1.6 Seja G um grupo. Então (Aut(G), ◦) é um grupo e, além disso, Inn(G)E Aut(G). ¥ Proposição 1.7 Sejam G, G 0 grupos com identidades e, e 0 , respectivamente e ϕ : G −→ G 0 um homomorfismo. Vale o seguinte: 1. Im(ϕ) =ϕ(G) ={ϕ(g); g ∈ G} ≤ G 0 ; 2. Ker(ϕ) ={g ∈ G; ϕ(g) =e 0 } E G (Ker(ϕ) é denominado núcleo do homomorfismo ϕ) emais,ϕ éinjetorse,esomentese,Ker( ϕ) ={e}. ¥ Teorema 1.2 (dos Homomorfismos) Sejam G, G 0 grupos e ϕ : G −→ G 0 um homomorfismo. Então Corolário 1.3 Seja G um grupo qualquer. G Ker(ϕ) ∼ = Im(ϕ). 1. Se G é um grupo cíclico, então G ∼ = (Z, +) se |G| = ∞ e G ∼ = Zn, se|G| = n; 2. Inn(G) ∼ = G Z(G) ; 3. Se X = {x1,x2,...,xn}, então (P(X), ◦) ∼ = Sn, ondeP(X) denota o conjunto das permutações dos elementos de X. ¥ Proposição 1.8 Sejam m, n, s inteiros positivos tais que s m ≡ 1mod(n). Então existe, a menos de isomorfismos, um único grupo G, com|G| = nm, gerado por dois elementos a, b ∈ G satisfazendo às seguintes relações: ⎧ ⎪⎨ a ⎪⎩ n = e bm = e a = b −1 a s b. Neste caso, G = {a i b j ;0≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m − 1}. ¥ OgrupoG tal que |G| =2n, n ∈ N,G= ha, bi,a n = b 2 = e e a = b −1 a s b, n, s ∈ N 6 ¥
é chamado de grupo diedral de ordem 2n e denotado por D2n. OgrupoG tal que |G| =2 n ,n∈ N,G= ha, bi,a 2n−1 = e, b 2 = a 2n−2 e bab −1 = a −1 é chamado de grupo dos quatérnios de ordem 2n e denotado por Q2n. Sejam K, G, H grupos e ϕ : K −→ G, ψ : G −→ H homomorfismos. Dizemos que o diagrama K ϕ −→ G ψ −→ H éumasequência exata em G se Im(ϕ) =Ker(ψ) ou, equivalentemente, (ψ ◦ ϕ)(x) = eH, ∀x ∈ K. Seja {...,Gi−1,Gi,Gi+1,...} uma família, eventualmente infinita, de grupos e {...,ϕ i : Gi −→ Gi+1,...} uma família de homomorfismos. Dizemos que o diagrama ···−→ Gi−1 ϕ i−1 −→ Gi ϕi ϕi+1 −→ Gi+1 −→ ··· éumasequência exata, seéexataemGi, ∀i ∈ I ,istoé,seIm(ϕ i−1) =Ker(ϕ i), ∀i ∈ I. Sejam G grupo e H E G. Dizemos que G se fatora sobre H se existir K ≤ G tal que G = HK e H ∩ K = {e}. Neste caso, dizemos que K éumcomplemento de H. Sejam H, K dois grupos e σ : K −→ Aut(H) k 7−→ σ(k) um homomorfismo. O conjunto G = H × K equipado com a operação (h, k)(h 0 ,k 0 )=(hσ(k)(h 0 ),kk 0 ) é um grupo, onde o elemento neutro é (eH,eK) e o elemento inverso de (h, k) é (σ(k −1 )(h −1 ),k −1 ). Tal grupo será denotado por H ×σ K. Teorema 1.3 Sejam H, K grupos, σ ∈ Aut(K) e G = H ×σ K. Asseguintesafirmações são verdadeiras: 1. Se σ é o homomorfismotrivial,istoé,seσ(k) =IdH, ∀k ∈ K, então G éoproduto direto usual H × K; se σ não é o homomorfismo trivial, então G é não-abeliano, mesmo que H e K sejam abelianos; 2. Existem H 0 E G, K 0 ≤ G com H 0 ∼ = H, K 0 ∼ = K tais que G se fatora sobre H 0 , com complemento K 0 ; 7
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Referências Bibliográficas [1] G.
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