Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

(i) p/∈ U(D);
(ii) ∀a, b ∈ D tais que p | ab, entãop | a ou p | b.
Mostra-se que, em D, todo elemento primo é irredutível, mas nem sempre a recíproca
é verdadeira.
Proposição 1.16 Sejam D domínio, f(x) ∈ D[x], ∂f(x) 6= 0e α ∈ D. Tem-se f(α) =0
se, e somente se, (x − α) divide f(x). ¥
Corolário 1.4 Seja K corpo. Vale o seguinte:
1. Se f(x) = nP
aixi ∈ K[x], ∂f = n>0, possui n raízes v1,v2,...vn em K, então
i=0
f(x) =an(x − v1)(x − v2) ···(x − vn);
2. Se f(x) = nP
aixi ∈ K[x], ∂f = n>0 possui r raízes v1,v2,...vr em K, com r0 . Existe um
corpo L tal que K ⊆ L e L é o corpo de decomposição de f(x). ¥
Sejam D domínio e a1,a2,...,an ∈ D. Um elemento d ∈ D éditomáximo divisor
comum de a1,a2,...,an se ocorre:
(i) d | a1,d| a2,...,d| an;
(ii) se d 0 ∈ D étalqued 0 | a1,d 0 | a2,...,d 0 | an, então d 0 | d.
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