Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Uma ação de um grupo G sobre um conjunto não-vazio X éumafunção
que satisfaz:
(i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X;
∗ : G × X −→ X
(g, x) 7−→ g ∗ x
(ii) (gg 0 ) ∗ x = g ∗ (g 0 ∗ x), ∀g, g 0 ∈ G, ∀x ∈ X.
Neste caso, dizemos que G age sobre X. Todo grupo G age sobre si mesmo (aqui
X = G) por conjugação: basta definir g ∗ x = g −1 xg, ∀g ∈ G, ∀x ∈ X. Por outro lado, se
X = {1, 2,...,n} e G ≤ Sn, então a função
∗ : G × X −→ X
(σ, j) 7−→ σ(j)
é uma ação de G sobre X. Sejam G um grupo, X um conjunto qualquer não-vazio e
suponhamos que G age sobre X por ∗ esejax ∈ X. A órbita contendo x (sob G),
denotada por G ∗ x, édefinida como sendo
G ∗ x = {g ∗ x; g ∈ G}.
| G ∗ x | é chamado de comprimento da órbita contendo x. O conjunto das órbitas de X,
G ∗ X = {G ∗ x; x ∈ X}
particiona X. Esta partição de X induz uma partição de | X |, chamada de partição do
comprimento das órbitas de X sob G. Esta partição de | X | consiste dos comprimentos
dasórbitasdistintasdeX sob G. Dado um grupo G, uma representação de G éum
homomorfismo ϕ de G em algum grupo G 0 . Se Ker(ϕ) ={e}, dizemos que a representação
é fiel. No caso em que G 0 ≤ Sn, dizemos que ϕ éumarepresentação por permutações.
Proposição 1.20 A cada ação corresponde uma representação e vice-e-versa. ¥
Sejam G um grupo, X um conjunto qualquer não-vazio e suponhamos que G age
sobre X por ∗. Dizemos que G age transitivamente sobre X se G ∗ x = X, ∀x ∈ X.
Isto é equivalente a dizer que a ação de G sobre X possui uma única órbita, ou seja,
G ∗ X = {X}. Dizemos também que a representação induzida pela última proposição é
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