Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

didatos.
Proposição 2.3 Sejam K corpo, com Char(K) 6= 2,f(x) ∈ K[x] um polinômio irre-
dutível, separável, com ∂f = n>0, zeros distintos v1,...,vn e V =(v1,...,vn) uma
ordenação dos mesmos. Tem-se Gal(f/K) ≤ An se, e somente se, disc(f) =k 2 ,com
k ∈ K ∗ .
Prova. Considere R(D, f), onde D = D(V ) é a função alternada. Tem-se
R(D, f)(x) =(x − D(V ))(x + D(V )) = x 2 − (D(V )) 2 = x 2 − disc(f).
Como os vi são distintos, então disc(f) 6= 0ecomoChar(K) 6= 2temos que R(D, f)
possui zeros distintos. Por hipótese,
Gal(f/K) ≤ An = stabSn(D)
esabemosqueAn = σ −1 Anσ, ∀σ ∈ Sn. Assim, R(D, f) possui um fator linear não
repetido e então h(x) =x − p disc(f) ∈ K[x]. Logo, p disc(f) ∈ K ∗ , ou seja, disc(f) =
k 2 ,k ∈ K ∗ . Reciprocamente, considere novamente R(D, f) =x 2 − disc(f). Por hipóte-se,
disc(f) =k 2 ,comk ∈ K ∗ . Daí, R(D, f) =(x − k)(x + k). Como Char(K) 6= 2temos
que h1(x) =x − k 6= x + k = h2(x) e assim R(D, f) possui um fator linear não repetido
sobre K. Logo, Gal(f/K) ≤ σ −1 stabSn(D)σ, paraalgumσ ∈ Sn. MasstabSn(D) =An e
σ −1 Anσ = An, ∀σ ∈ Sn. Daí, temos o resultado desejado. ¥
2.5 O método de Stauduhar
Stauduhar em [12] descreve um método eficaz para a determinação do grupo de Galois
sobre Q de um polinômio mônico irredutível f(x) ∈ Z[x]. Ele descreve a implementação
deste método para n = ∂f ≤ 8 e fornece tabelas com informações necessárias para esta
implementação. Seja V =(v1,...,vn) uma ordenação dos zeros de f(x) e suponha que
com respeito a esta ordenação, sabemos que Gal(f/Q) ≤ G (inicialmente sabemos que
Gal(f/Q) ≤ Sn). Se G não possui subgrupos próprios transitivos, então Gal(f/Q) =G.
Caso contrário, verificamos se Gal(f/Q) ≤ H, para cada subgrupo maximal transitivo H
de G. ParaH um subgrupo maximal transitivo de G, verificamos se Gal(f/Q) ≤ σHσ −1 ,
para algum σ ∈ G. Escolha (de uma tabela) um polinômio F ∈ Z[x1,...,xn] tal que
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