Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Prova. Se G(ω) =W então, pelo Lema 2.1 , g(x) ∈ K[x]. Suponhamos, por absurdo,
que g(x) é redutível. Então, g(x) possui um fator h(x) ∈ K[x], ondeh(x) = P
i∈I (x−ωi),
para algum I ⊂ {1,...,k}. Daí, pelo Lema 2.1, G leva W 0 = {ωi; i ∈ I} em W 0 eisto
contradiz o fato de que G(ω) =W . Reciprocamente, suponhamos que g(x) ∈ K[x] éum
polinômio irredutível. Pelo Lema 2.1, sabemos que G leva W em W . Assim, G(ω) ⊆ W .
Se não fosse W ⊆ G(ω), existiria I ⊂ {1,...,k} tal que G(ω) ={ωi; i ∈ I}. Então,pelo
Lema 2.1, h(x) = P
i∈I (x − ωi) ∈ K[x], ou seja, g(x) possuiria um divisor próprio em
K[x], o que é uma contradição. ¥
Corolário 2.1 Se f(x) ∈ K[x] éirredutíveleseparável,entãoGal(f/K) é transitivo.
Prova. Suponhamos que ∂f = n. Sejam v1,...,vn os zeros(distintos) de f(x), V =
(v1,...,vn) uma ordenação dos mesmos e ϕ = rep(G(N/K),V, ∗) a representação fiel.
Como f(x) é irredutível temos, Proposição 2.1, que G = G(N/K) é transitivo. Pelo
Teorema Fundamental dos Homomorfismos,
G
= G ' Im(ϕ) =Gal(f/K)
Ker(ϕ)
e assim Gal(f/K) é transitivo. ¥
Aplicaremos o resultado precedente para determinar uma informação útil no que diz
respeito à fatoração de uma resolvente. Seja F ∈ K[x1,...,xn]. Recordemos que a
resolvente sobre K associada com F e f(x) é
R(F, f) = k
Π
i=1 (x − Fi(V )),
onde {F1,...,Fk} = Sn ∗ F (com os Fi distintos). Para τ ∈ G(N/K), seja τ 7−→ στ sob
a representação fiel de G(N/K) sobre Gal(f/K). Seja∗ 1 aaçãodeG(N/K) sobre K[V − ]
definida por τ ∗ 1 F (v1,...,vn) =F (τ(v1),...,τ(vn)). Provaremos o seguinte lema:
Lema 2.2 τ ∗ 1 F (V − )=στ(V − ) ∗ F .
Prova.
τ ∗ 1 F (v1,...,vn) = F (τ(v1),...,τ(vn))
= F (vστ (1),...,vστ (n)) =στ(v1,...,vn) ∗ F.
¥ Assim, Gal(f/K) age sobre polinômios nos zeros de f(x) do mesmo modo que
G(N/K) ofaz.
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