Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Deste modo, qualquer subgrupo de Sn age sobre K[x1,...,xn] como um grupo de auto-
morfismos de um anel. Sejam F ∈ K[x1,...,xn],f(x) ∈ K[x],n= ∂f > 0 e v1,...,vn os
zeros de f(x). O polinômio resolvente (ou a resolvente)associado(a)aF e f(x), deno-
tado(a) por R(F, f), édefinido(a) por
onde
R(F, f) = kQ
(x − Fi(v1,...,vn)) ,
i=1
{F1,...,Fk} = Sn ∗ F ,comFi 6= Fj, parai 6= j.
Podemos tomar Fi = σi ∗ F, i =1,...,k, onde {σ1,...,σk} é um conjunto de represen-
tantes das classes laterais de stabSn(F ) em Sn. Os coeficientes de R(F, f) são polinômios
simétricos sobre K em v1,...,vn e daí, pelo Teorema dos Polinômios Simétricos, po-
dem ser expressos como polinômios sobre K nos coeficientes de f(x). Também nota-se
que R(F, f) é independente da ordenação dos zeros de f(x). Sejam f(x) ∈ K[x],n =
∂f > 1,e1,...,er ∈ K, 0 1 e v1,...,vn os zeros de f(x).
O discriminante de f(x), denotado por disc(f), édefinido por
disc(f) = Π
i 0. Vamos, primeiramente, admitir que o corpo de decomposição de f(x)
sobre Q é um subcorpo dos complexos. Em segundo lugar, podemos assumir que os coefi-
cientes de f(x) são inteiros pois, caso contrário, podemos aplicar a seguinte transformação
a f(x) :Seja c o mínimo múltiplo comum dos denominadores dos coeficientes de f(x).
Então
g(x) =c n f(x/c)
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