Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

3. H ≤ G, N E G ⇒ HN = {hn; h ∈ H, n ∈ N} ≤ G;
4. N1,N2 E G ⇒ N1N2 E G;
5. H ≤ G, N E G ⇒ H ∩ N E H. ¥
Proposição 1.4 Sejam G um grupo e HEG. Então ( G , ¯) éumgrupo,onde¯édefinida H
por
G
H
G G
¯ : × H H
→ G
H
(xH, yH) 7→ xyH.
é chamado grupo quociente de G por H. ¥
Seja G um grupo. Definamos em G a seguinte relação:
x, y ∈ G, x˜ G y ⇔∃g ∈ G tal que y = g −1 xg.
Prova-se que ˜ G é uma relação de equivalência em G. Se x ∼ G y, dizemos que x e y são
conjugados em G. Dado x ∈ G, a classe de equivalência de x em G determinada por ∼ G é
Cx = {g −1 xg; g ∈ G}
e é chamada de classe de conjugação de x em G;
Proposição 1.5 Seja G um grupo finito. Então:
1. |Cx| |divide |G| e Cx = {x} ⇔ x ∈ Z(G);
2. |G| = |Z(G)| + P
|Cxi| (Equação das Classes). ¥
xi /∈Z(G)
Um homomorfismo entredoisgruposG, G 0 é uma função f : G −→ G 0 queécompatível
com suas operações, isto é,
f(xy) =f(x)f(y), ∀x, y ∈ G.
No caso em que G = G 0 ,dizemosquef éumendomorfismo. Se f : G −→ G 0 éum
homomorfismo bijetor, chamamos f de isomorfismo e dizemos que G e G 0 são isomorfos
(notação:G ∼ = G 0 ). No caso em que G = G 0 , dizemos que f éumautomorfismo. O
conjunto dos automorfismos de um grupo G será denotado por Aut(G). Dado g ∈ G, a
função Ψg : G −→ G definida por Ψg(x) =g −1 xg éumautomorfismo. Ψg é chamado
de automorfismo interno de G. Notação: Inn(G) representará o conjunto de todos os
automorfismos internos de um grupo G.
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