Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

de K, então K1∩ K2 ∩···∩Kn também o é. Além disso, se S é um subconjunto não-vazio
de K, então o conjunto hSi ⊆ K definido por
hSi = {x1α1 + x2α2 + ···+ xnαn : n ∈ N,xi ∈ K, αi ∈ S, i =1,...,n}
também é um subcorpo de K, chamado de subcorpo de K gerado por S. Dizemos que um
corpo L éumaextensão de um corpo K se L contém K como subcorpo. Notação: L/K
significa que L é uma extensão de K. Se L/K é uma extensão, prova-se que L possui uma
estrutura de espaço vetorial sobre K. A dimensão de L, vistocomoumespaçovetorial
sobre K é chamada de grau de L sobre K e denotada por (L : K). Diz-se que L/K é
uma extensão finita se (L : K) é finito. O conjunto de todos os subcorpos de L contendo
K será denotado por Lat(L/K). Seja L/K umaextensãodecorposeα1,α2,...,αn ∈ L.
Então o conjunto
K(α1,α2,...,αn) ={a0 + a1α1 + ···+ anαn : ai ∈ K, i =0,...,n}
éumsubcorpodeL contendo K e α1,α2,...,αn. Além disso, é o “menor” subcorpo de
L com esta propriedade, isto é, se L 0 éumsubcorpodeL contendo K e α1,α2,...,αn,
então K(α1,α2,...,αn) ⊆ L 0 . K(α1,α2,...,αn) é chamado de subcorpo gerado sobre K
por α1,α2,...,αn. Uma extensão L/K éditasimples se existe α ∈ L tal que L = K(α).
Se, além disso, ∃m ∈ N tal que α m ∈ K, dizemos que L/K é pura. Sejam A e A 0 anéis.
Uma função f : A −→ A 0 diz-se um homomorfismo se satisfaz às seguintes condições:
(i) f(a + b) =f(a)+f(b), ∀a, b ∈ A;
(ii) f(ab) =f(a)f(b), ∀a, b ∈ A.
Se A = A 0 , f é chamado de endomorfismo. O homomorfismo f : A −→ A 0 tal que
f(x) =0 0 , ∀x ∈ A, é chamado de homomorfismo nulo.
Proposição 1.11 Sejam A, A 0 anéis e f : A −→ A 0 um homomorfismo.Vale o seguinte:
1. f(0) = 0 0 ;
2. f(−a) =−f(a), ∀a ∈ A;
3. Se A e A 0 são domínios e f não é o homomorfismo nulo, então
f(1) = 1 0 ;
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