Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

4. Se A e A 0 são corpos e f não é o homomorfismo nulo, então f é injetiva. ¥
Se A e A 0 são anéis e f descrita acima é uma bijeção, dizemos que f éumisomorfismo
de A em A 0 . Neste caso, dizemos que A e A 0 são isomorfos e escrevemos A ∼ = A 0 . No caso
em que A = A 0 , dizemos que f éumautomorfismo.
Proposição 1.12 Seja A um anel e seja Aut(A) o seguinte conjunto:
Aut(A) ={f : A −→ A; f é automorfismo}.
Então (Aut(A), ◦) éumgrupo. ¥
Teorema 1.11 Se K éumcorpofinito, com | K |= q, entãoq = p n ,comp primo.
Reciprocamente, dado q = p n , existe, a menos de isomorfismos, um único corpo finito K
tal que | K |= q. ¥
Seja K um corpo e seja GLn(K) o conjunto das matrizes n×n invertíveis com entradas
em K. Temos que (GLn(K), •) éumgrupo,onde• denota o produto de matrizes. Temos
ainda que SLn(K) ={M ∈ GLn(K); det M =1} E GLn(K). No caso em que | K |= q<
∞, as notações para GLn(K) e SLn(K) são, respectivamente, GL(n, q) e SL(n, q) (grupo
linear geral e grupo linear especial, respectivamente). Demonstra-se que
| GL(n, q) |= Π
0≤i≤n−1 (qn − q i ) e | SL(n, q) |=
| GL(n, q) |
.
q − 1
Seja K um corpo finito e seja G = GL(n, q). O grupo linear geral projetivo, denotado
por PGL(n, q), édefinido como sendo o grupo quociente G .Jáogrupo linear especial
Z(G)
projetivo, denotado por PSL(n, q), édefinido como sendo o grupo quociente
Sejam D um domínio, x ∈ D e n ∈ Z. Define-se nx ∈ D da seguinte maneira:
⎧
⎪⎨
(n − 1)x + x, se n>0
nx = 0,
⎪⎩ −n(−x),
se n =0
se n