Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

é chamado de grupo diedral de ordem 2n e denotado por D2n. OgrupoG tal que
|G| =2 n ,n∈ N,G= ha, bi,a 2n−1
= e, b 2 = a 2n−2
e bab −1 = a −1
é chamado de grupo dos quatérnios de ordem 2n e denotado por Q2n. Sejam K, G, H
grupos e ϕ : K −→ G, ψ : G −→ H homomorfismos. Dizemos que o diagrama
K ϕ
−→ G ψ
−→ H
éumasequência exata em G se Im(ϕ) =Ker(ψ) ou, equivalentemente, (ψ ◦ ϕ)(x) =
eH, ∀x ∈ K. Seja {...,Gi−1,Gi,Gi+1,...} uma família, eventualmente infinita, de grupos
e {...,ϕ i : Gi −→ Gi+1,...} uma família de homomorfismos. Dizemos que o diagrama
···−→ Gi−1
ϕ i−1
−→ Gi
ϕi ϕi+1 −→ Gi+1 −→ ···
éumasequência exata, seéexataemGi, ∀i ∈ I ,istoé,seIm(ϕ i−1) =Ker(ϕ i), ∀i ∈ I.
Sejam G grupo e H E G. Dizemos que G se fatora sobre H se existir K ≤ G tal que
G = HK e H ∩ K = {e}. Neste caso, dizemos que K éumcomplemento de H. Sejam
H, K dois grupos e
σ : K −→ Aut(H)
k 7−→ σ(k)
um homomorfismo. O conjunto G = H × K equipado com a operação
(h, k)(h 0 ,k 0 )=(hσ(k)(h 0 ),kk 0 )
é um grupo, onde o elemento neutro é (eH,eK) e o elemento inverso de (h, k) é (σ(k −1 )(h −1 ),k −1 ).
Tal grupo será denotado por H ×σ K.
Teorema 1.3 Sejam H, K grupos, σ ∈ Aut(K) e G = H ×σ K. Asseguintesafirmações
são verdadeiras:
1. Se σ é o homomorfismotrivial,istoé,seσ(k) =IdH, ∀k ∈ K, então G éoproduto
direto usual H × K; se σ não é o homomorfismo trivial, então G é não-abeliano,
mesmo que H e K sejam abelianos;
2. Existem H 0 E G, K 0 ≤ G com H 0 ∼ = H, K 0 ∼ = K tais que G se fatora sobre H 0 , com
complemento K 0 ;
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