Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Introdução
A teoria de Galois dá uma resposta elegante à questão de saber se uma equação
polinomial
f(x) =0
sobre um corpo adequado K( por exemplo, os racionais) é ou não solúvel por radicais.
“Solúvel por radicais” significaqueoszerosdef(x) podem ser escritos como expressões
finitas envolvendo os coeficientes de f(x), onde as únicas operações permitidas são as
operações do corpo e a extração de raízes. Na teoria de Galois, a cada polinômio f(x) ∈
K[x], está associado um grupo G chamado o grupo de Galois de f(x) sobre K. A
estrutura deste grupo descreve a estrutura da menor extensão de K contendo todos os
zeros de f(x) eaequaçãof(x) =0é solúvel por radicais se, e somente se, G éumgrupo
solúvel.
Nesta dissertação estudaremos o problema do cálculo do grupo de Galois de um
polinômio f(x), com zeros distintos sobre um corpo K. Estaremos especialmente interes-
sados no caso K = Q, o corpo dos números racionais, e quando f(x) é irredutível sobre
K. Esta dissertação tem por objetivo ser uma contribuição ao domínio da computação
simbólica e algébrica.
No Capítulo 2, apresentaremos algumas definições e resultados básicos que serão
necessários para o entendimento dos capítulos subsequentes.
No Capítulo 3, discutiremos métodos computacionais usados para determinar invari-
antes de “Gal(f/K)”, incluindo trabalho feito previamente. Discutiremos em detalhes o
uso de “polinômios resolventes” e mostraremos como a “resolvente linear” pode ser usada
na determinação de “Gal(f/K)”.
No Capítulo 4, descreveremos um algoritmo prático e exato que usa “resultantes poli-
nomiais” para calcular “resolventes lineares”.Nosso algoritmo necessitará de algumas re-
strições sobre o corpo base K quando sua “característica” for não nula.
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